Метод треугольника в АВС-анализе. Часть I

аналитик ЗАО ЦВ «Протек», г. Москва

Всякая экономия в конечном счете сводится к экономии времени.
К. Маркс

Успех компании напрямую зависит от ее способности удовлетворять потребности клиента. Расширение ассортиментного портфеля является ключевым звеном в формировании партнерских отношений и, как следствие, способствует росту репутации компании. Однако управлять широким ассортиментом зачастую тяжело и невыгодно. Рационально использовать ресурсы помогает АВС-анализ.

АВС-анализ – метод, позволяющий классифицировать бизнес-ресурсы компании по степени их важности. В его основе лежит принцип Парето (Вильфредо Парето, известный итальянский экономист XIX века, обратил внимание на то, что большая часть богатства принадлежит меньшей части населения и сформулировал «правило 20 ( 80»: 20% всех клиентов дают 80% прибыли, 20% всех товаров дают 80% оборота, 20% населения выпивают 80% пива и т. п. [1]).

По отношению к ABC-анализу правило Парето может звучать так: надежный контроль 20% позиций позволяет на 80% контролировать систему, будь то запасы сырья и комплектующих, либо продуктовый ряд предприятия, либо его клиентура и т.п.

Например, изучив номенклатуру запасов предприятия, мы можем выделить группу А (это, скажем, 10% запасов, стоимость которых составляет 70% всех затрат), группу B (20% запасов, составляющих 20% общих затрат) и группу C (основной список запасов, составляющий 70% всей номенклатуры, который занимает, однако, всего 10% всех затрат). Таким образом, очевидно, что руководство компании должно наиболее жестко контролировать получение, хранение и использование запасов группы А. По отношению к запасам группы B контроль может быть текущим, по отношению к запасам группы С – периодическим.

Отметим, что в различной литературе могут быть указаны другие процентные отношения деления «на глазок» (например, группа А – 15% запасов, В – 20%, С – 65%). На определении размеров групп А, В и С мы и акцентируем внимание в данной статье.

Ассортиментная лестница

Первым шагом любого аналитического исследования является сбор и организация, в удобном для исследователя виде, данных. Приступая к АВС-анализу, отметим некоторые положения, с которыми мы будем работать далее.

Итак, у нас есть ассортимент и посчитанная среднемесячная маржа по каждой позиции. Чтобы правильно построить диаграмму Парето, необходимо отсортировать ассортимент по марже в порядке убывания.

На рисунке 1 построена гистограмма распределения маржи теоретического ассортимента (a) для 30 позиций в порядке убывания маржинальной прибыли. Маржа убывает в зависимости от товарной позиции по арифметическому закону с разностью (-10) (макс. маржа – 300, мин. – 10).

Рис. 1. График распределения маржинальной прибыли для ассортимента (а), отсортированного в порядке убывания маржи (30 товарных позиций)

На рисунке 2 изображена гистограмма распределения маржи теоретического ассортимента (b) для 30 позиций в порядке убывания маржинальной прибыли. Маржинальная прибыль убывает в зависимости от товарной позиции по геометрическому закону со знаменателем 0,8 (макс. маржа – 6460, мин. – 10).

Рис. 2. График распределения маржинальной прибыли для ассортимента (b), отсортированного в порядке убывания маржи (30 товарных позиций)

И наконец, на рисунке 3 представлена гистограмма эмпирического распределения маржи ассортимента (с) компании «Протек» за январь 2006 г. Всего позиций – 2278, максимальная маржа – 15 726, минимальная – 0.

Рис. 3. График распределения маржинальной прибыли для ассортимента (с), отсортированного в порядке убывания маржи (2278 товарных позиций)

Мы получили своеобразный материал – кирпичики для строительства ассортиментной лестницы, т. е. получили удобно организованные данные для построения диаграммы Парето.

Начнем строительство нашей лестницы, или, другими словами, начнем построение диаграммы Парето. Для этого надо поставить самый большой кирпичик (первый столбик диаграммы) на первую позицию на нулевой уровень. Второй по величине кирпичик необходимо поставить на вторую позицию над первым, т. е. на высоту первого. Третий, аналогично предыдущим, надо поставить на высоту второго, на третью позицию и т. д. Получается своеобразная лестница, которую в профессиональной литературе называют диаграммой Парето (рис. 4).

Рис. 4. Выстраивание ассортиментной лестницы

Таким образом, чтобы построить диаграмму Парето, необходимо после сортировки данных ассортимента по маржинальной прибыли рассчитать процентные суммы долей ассортимента и процентные суммы долей маржинальных прибылей.

По горизонтальной оси абсцисс откладываем процентную долю количества позиций, т.е. сумму позиций, деленную на общее количество позиций товара в ассортименте в процентном выражении:

где Xi– координата по оси абсцисс диаграммы Парето,
 – i-я позиция отсортированного по марже ассортимента (xi = i),
 – общее количество позиций в ассортименте.

По вертикальной оси ординат аналогичным способом будем откладывать суммарную долю маржинальной прибыли:

где

– маржинальная прибыль всего ассортимента,
 – сумма маржинальных прибылей от 1-й до i-й позиции.

Построенная диаграмма Парето будет иметь форму выпуклой вверх кривой. Вообще ассортимент имеет дискретную структуру, и диаграммой Парето будет выпуклая вверх ломаная. Выпуклость ломаной доказывается просто и следует из методики построения диаграммы по отсортированным в порядке убывания данным (сортировка в порядке убывания и доказывает выпуклость вверх) [2, 3].

Точка симметрии или асимметрии?

Следующим шагом АВС-анализа будет определение точки асимметрии на диаграмме Парето. Что же такое точка асимметрии?

Определение. Точка асимметрии – это точка на диаграмме Парето с координатами (xp, yp), для которых выполняется равенство

где нижний индекс p обозначает первую букву фамилии Вильфредо Парето (Pareto). Будем также называть ее точкой Парето как принадлежащую к одноименной кривой.

На любой диаграмме Парето эта точка существует и единственная, то есть существуют единственные значения координат диаграммы Парето xp и yp, которые в сумме дают 100%. Доказательство этого факта очевидно и следует из выпуклости и неубываемости диаграммы Парето (сумма координат такой функции будет возрастающей функцией).

Точки Парето для наших диаграмм будут иметь следующие координаты:
Арифметическая прогрессия (a) –
Геометрическая прогрессия (b) –
Ассортимент компании «Протек» (c) –

Теперь мы видим, почему мы выбрали именно эти распределения. Арифметическое распределение (a) дает известное из статистики отношение нормального распределения 32:68, а геометрическое распределение (b) дает наше правило Парето 20:80. Однако стоит отметить, что если примерное 32:68 выполняется для любого ассортимента с арифметическим законом распределения маржинальных прибылей, то 20:80 выполняется для геометрической прогрессии со знаменателем 0,8 только для ассортимента с 30 позициями. Например, для ассортимента, содержащего 100 позиций и удовлетворяющего геометрическому закону, отношение 20:80 будет примерно выполняться, только когда знаменатель геометрической прогрессии равен 0,92. То есть ассортимент (b) был целиком и полностью подогнан под рамки правила Парето. Поэтому обольщаться при виде геометрического закона распределения не стоит – точка Парето может сильно отличаться от отношения 20:80, но это не должно нас пугать.

Давайте посмотрим, где находится множество точек Парето в координатной плоскости диаграммы. Для любой из всевозможных диаграмм Парето выполняется равенство

т. е. равенство выполняется для любой точки Парето. Тогда уравнение, описывающее множество точек Парето, будет иметь вид:

Это уравнение есть не что иное, как уравнение прямой, пересекающей оси y и  в точках с координатами (100;0) и (0;100) соответственно (рис. 5).

Назовем эту прямую линией Парето (не путать с диаграммой Парето – выпуклой кривой, описывающей зависимость суммарных долей маржи от количества позиций ассортимента.). На рисунке 5 видно, что диаграммы Парето примерно симметричны относительно линии Парето, поэтому точку асимметрии можно также назвать точкой симметрии. Для того чтобы не было путаницы, мы и обозвали эту точку – точкой Парето.

Рис. 5. Линия Парето с диаграммами Парето для трех ассортиментов:
(a) – арифметическая прогрессия, (b) – геометрическая прогрессия, (c) – ассортимент компании «Протек».

Заметим, что множество точек Парето не будет содержать всю линию Парето. По нашей методике построения диаграмм точки Парето будут располагаться только в пределах отрезка (0;100) и (50;50) (рис. 5).

20:80 – ловушка Парето

Приступая к разработке метода треугольника, мы начнем с деталей и нюансов, которые можно не заметить, анализируя данные методом АВС.

Рассмотрим два простых теоретических ассортиментов (d) и (e), содержащих по 100 товарных позиций каждый. Гистограммы отсортированных по маржинальной прибыли ассортиментов (d) и (e) изображены на рисунках 6 и 7 соответственно.

Рис. 6. График распределения маржинальной прибыли для ассортимента (d), отсортированный в порядке убывания маржи (100 товарных позиций)

Рис.7. График распределения маржинальной прибыли для ассортимента (e),отсортированный в порядке убывания маржи (100 товарных позиций)

На гистограммах видно, что оба ассортимента имеют по две категории товарных позиций:

Ассортимент (d) содержит 5 хороших товарных позиций с маржой 610 и 95 плохих товарных позиций с маржой 10.

Ассортимент (e) содержит 40 хороших позиций с маржой 500 и 60 плохих позиций с маржой 24.

Построим диаграммы Парето для ассортиментов (d) и (e) по формулам (1) и (2).

Рис. 8. Диаграммы и линия Парето для ассортиментов (d) и (e)

При равномерном распределении маржинальных прибылей приращения при построении диаграммы Парето будут одинаковыми, поэтому диаграмма Парето будет иметь вид наклонной возрастающей прямой. В нашем случае ассортименты состоят из двух частей с равномерным распределением по маржинальной прибыли, поэтому диаграмма Парето для всего ассортимента будет состоять из двух прямолинейных кусков, то есть будет иметь форму ломаной, состоящей из двух звеньев. На рисунке 8 изображены эти диаграммы Парето для ассортиментов (d) и (e). Заметим, что наиболее вертикальное, с наиболее крутым наклоном звено отвечает за хороший ассортимент, а более пологое (горизонтальное) звено относится к плохому ассортименту.

Давайте посмотрим, куда попадут хорошие и плохие позиции ассортимента, если мы разобьем последний «на глазок» в отношении A – 10%, B – 20%, C – 70% (по товарным позициям).

В ассортименте (d) группа А содержит 5% хороших позиций и 5% плохих, группы В и С содержат только плохие позиции.

В ассортименте (e) группа А содержит 10% только хороших позиций, группа В – 20% также только хороших позиций, а группа С – примерно 10% хороших и 60% плохих позиций.

Как мы видим, оба ассортимента при делении «на глазок» ранжированы нерационально. Но если в ассортименте (d) с точкой Парето (20;80) категории А и В захватывают весь хороший ассортимент (и часть плохого), позволяя его приоритетно финансировать, то в ассортименте (e) с точкой Парето (30;70) категории А и В упускают 10% хорошего ассортимента, который попадает в категорию С, подвергаясь неприоритетному финансированию, в результате чего компания рискует понести большие финансовые потери, связанные с дефицитом хорошо продаваемого товара.

Этот пример со смещенной симметрией наталкивает нас на два соображения. Первое – это то, что необходимо выделить категории А и С так, чтобы в А не попали плохие, а в С — хорошие позиции ассортимента. И второе соображение, которое скорее является пожеланием, это то, что размеры категорий должны зависеть от координат точки Парето.

Как уже было замечено ранее, хороший, прибыльный ассортимент расположен на наи вертикальной части кривой Парето, а плохой ассортимент занимает наиболее горизонтальный кусок диаграммы. Такое расположение на диаграмме Парето связано с величиной приращений, которые определяются маржинальными прибылями, и не должно вызывать затруднений в понимании. Это наблюдение, позволяющее сделать простую проверку АВС-анализа, можно сформулировать правилом «живой – стоит, мертвый – лежит», понимая под «живым» – хорошие позиции ассортимента, под «мертвым» – плохие.

АВС-треугольник или анализ?

Завершающим штрихом АВС-анализа остается само деление ассортимента на три группы по степени важности. Исходя из предыдущих соображений, необходимо разбить диаграмму Парето на три части.

Как мы уже отмечали ранее, в нашем методе мы будем использовать только координаты точки Парето. При этом АВС-анализ должен оставаться простым, наглядным, быстрым и в то же время максимально точным. Для этого нам необходимо исследовать весь класс выпуклых вверх функций Парето, проходящих через три точки с координатами (0;0), (100;100) (через первую и третью точки диаграмма Парето проходит по построению). Попробуем описать этот класс функций. Для этого проведем касательную LM к диаграмме в точке Парето В (рис. 9). По свойству выпуклых вверх функций вся диаграмма будет лежать не выше касательной LM (то есть ниже или совпадать). Для всего класса диаграмм Парето, проходящих через точку с координатами касательная с минимальным углом наклона к горизонтальной оси абсцисс будет проходить через точки с координатами  и (100:100) – прямая AN, а касательная с максимальным углом наклона к оси абсцисс будет проходить через точки с координатами  и (0;0) – прямая OC. Из выпуклости диаграмм и условия, что они проходят через точки с координатами (0;0),  и (100;100), следует, что кривые, которые имеют касательные в точке Парето с максимальным и минимальным углом наклона к оси абсцисс, содержат эти касательные. То есть весь класс кривых Парето будет лежать внутри области, засекаемой касательными AN и OC (рис. 9).

Рис. 9. Исследуемый класс диаграмм Парето

Точки на диаграмме Парето, имеющие наибольшую кривизну, являются точками перехода от хорошего ассортимента к плохому ассортименту или наоборот. Это связано с тем, что при большей кривизне диаграмма резко меняет угол наклона, то есть точки с наибольшей кривизной являются точками перехода от «стоячего» ассортимента к «лежачему». На этом свойстве выпуклых функций и строится категорирование ассортимента.

Весь класс выпуклых функций, проходящих через точку  будет иметь две критические точки с максимальной кривизной, А и С (чем плотнее диаграмма прижимается к точкам А и С, тем больше кривизна в окрестностях этих точек). Логично эти точки взять за точки ранжирования нашего ассортимента на три категории (рис. 10).

Рис. 10. Определение координат точек разбиения

Найдем координаты точек А и С. Общее уравнение прямой имеет вид:

где  a – тангенс угла наклона прямой, b – сдвиг прямой по вертикальной оси ординат. Подставив координаты точек B  и N (100;100) в уравнение (5), получим два уравнения с двумя неизвестными a и b для прямой AN:

отсюда  То есть уравнение прямой AN примет вид:

Аналогично, подставив в уравнение (5) координаты точек B  и O (0;0), получаем уравнение прямой OC:

Подставляя абсциссу точки А и ординату точки C в уравнения (6) и (7) соответственно, получаем координаты этих точек:

Мы определили координаты точек А и С. Но эти точки принадлежат двум диаграммам с максимальной кривизной из всего класса диаграмм (ломаные ОАN и OCN). А нам необходимо определить точки разбиения для всего класса диаграмм. Это несложно. Так как часть диаграммы на отрезке ОА имеет вертикальный рост, то из точки А целесообразно выпустить луч перпендикулярный вертикальной оси ординат (перпендикуляр – кратчайшее расстояние до кривой). То есть первой точкой разбиения для произвольной диаграммы Парето, проходящей через точку  будет точка D. Аналогично кривая на отрезке СN имеет горизонтальный рост, поэтому необходимо выпустить перпендикуляр к горизонтальной оси абсцисс и получить на пересечении с нашей диаграммой вторую точку разбиения Е (рис. 10). У нас появляются две неопределенные координаты  и  точек D и E соответственно. Но так как мы имеем распределение суммарных долей, полученных на первых шагах построения кривой Парето, то нам достаточно только двух координат  и  точек D и E соответственно. Тогда высокоприоритетная категория А определяется как доля ассортимента, с суммарной маржинальной прибылью . Категория с низким приоритетом С определяется как доля ассортимента, составляющая (100 – ) всего ассортимента. А категория среднего приоритета В определится автоматически. Заметим, что в силу симметрии:  =100 – . Итак, получаем формулу для определения категорий А, В и С:

Еще раз подчеркнем, что по этой формуле выделяется категория А по маржинальной прибыли (по вертикальной оси ординат!), а категория С по доле ассортимента (по горизонтальной оси абсцисс!). Категория В определяется автоматически после выделения А и С. По формуле (8) в приложении А построена удобная таблица, определяющая категории А и С, с шагом 1% по координатам точки Парето  и  (табл. 1).

 Таблица 1

Метод 1 определения категорий А и С по формуле (8)

Часть II