Главная    Интернет-библиотека    Финансы    Финансовый рынок РФ    Экономико-математическое моделирование финансового рынка

Экономико-математическое моделирование финансового рынка

24.09.2013

Экономико-математическое моделирование финансового рынка

Опубликовано в журнале "Финансовый менеджмент" №5 год - 2008

Бурлачков В.К.,
д-р экон. наук, профессор
 Российской экономической академии
им. Г.В. Плеханова

Гусаков А.В.,
ведущий эксперт
Аудиторско-консалтинговой компании
«Делойт и Туш СНГ»

Экономико-математическое моделирование является важным направлением исследования финансового рынка, позволяющим анализировать связи между его структурными элементами, выявлять новые тенденции, делать прогнозы динамики цен финансовых активов.

К настоящему времени накоплен большой опыт моделирования как финансового рынка в целом, так и его отдельных сегментов. По нашему мнению, целесообразно классифицировать модели, используемые для изучения финансового рынка, на три группы: Макроэкономические,  анализирующие равновесные состояния финансового рынка и его роль в достижении общей сбалансированности экономической системы.

Эконофизические, разрабатываемые на основе моделей, применяемых статистической физикой для анализа динамики сложных систем микромира и получивших в последние годы широкое распространение в экономике и финансах

Модели, используемые для изучения отдельных сегментов финансового рынка (кредитного, фондового, валютного, страхового).

Изучение первой группы моделей позволяет анализировать не только значение финансового рынка в достижении макроэкономического равновесия, но и его роль в экономическом развитии. На их основе выявляется специфическое влияние финансового рынка на рынки товаров, услуг и труда. Важность анализа эконофизических моделей предопределяется тем, что они разрабатываются в рамках нового междисциплинарного научного направления (эконофизики), позволяющего обосновать новые подходы к экономическим явлениям, применив наработки современной физики. К моделям, используемым для изучения отдельных сегментов финансового рынка, относятся САРМ (Capital Asset Pricing Model – модель доходности финансовых активов); модель арбитражного ценообразования (Arbitrage Pricing); модель ценообразования опционов (option pricing). Указанные модели глубоко изучены в экономической литературе и не исследуются в настоящей статье.

Основное внимание уделено анализу макроэкономических и эконофизических моделей функционирования финансового рынка.

Макроэкономические модели дают возможность изучать вклад финансового рынка в общее равновесие экономической системы. Этот класс моделей получил развитие в работах Дж. Хикса и А. Хансена, основанных на методологических подходах Дж. Кейнса, изложенных в «Общей теории занятости, процента и денег».

В разработанной Дж. Хиксом макроэкономической модели IS-LM спрос на деньги представлен в кейнсианской трактовке – в виде предпочтения ликвидности. Это предполагает выбор хозяйствующими субъектами финансовых активов, исходя из их ликвидности. Предъявляя спрос на деньги как ликвидность, хозяйствующие субъекты руководствуются спекулятивным мотивом, являющимся важным элементом совокупного спроса на деньги и влияющим на процентную ставку и соответственно на результаты выбора экономическими субъектами между деньгами и прочими  финансовыми активами.

Действие механизма выбора между деньгами и финансовыми активами изучено Дж. Кейнсом на примере облигаций и заключается в следующем. Хозяйствующие субъекты предпочитают хранить деньги, если их ожидаемая доходность выше ожидаемой доходности облигаций. Доходность последних складывается из двух составных частей: процентных выплат, являющихся фиксированными на весь период обращения облигации, и прироста капитала. Последний зависит от динамики рыночной процентной ставки. При повышении этих ставок цены облигаций снижаются, предопределяя потерю капитала от инвестирования в облигации. Поэтому при ожидаемом снижении процентных ставок хозяйствующие субъекты предпочтут хранить деньги на банковских счетах, а не приобретать облигации. Это ведет к повышению спроса на деньги вследствие наличия спекулятивного мотива их аккумулирования.

Однако, если экономические субъекты ожидают падения процентных ставок, они предпочтут инвестировать деньги в облигации. Снижение процентных ставок предопределит повышение цен облигаций и соответственно прирост инвестированного в них капитала. Но увеличение цен облигаций должно приводить к уменьшению спроса на деньги. Таким образом, изменения в спросе на деньги и облигации непосредственным образом сказываются на сбалансированности денежного рынка и тем самым предопределяют соответствующую корректировку макроэкономического равновесия. Следует отметить, что в данном случае формируется макроэкономическая ситуация, не рассматриваемая в стандартной модели IS-LM. Проанализируем эту ситуацию подробнее.

Ожидания экономических субъектов относительно снижения процентной ставки приведут к покупке облигаций. В этих условиях упадет спрос на деньги. Это должно вызвать движение линии IS к точке B, в которой пониженной процентной ставке соответствует уменьшенный объем совокупного выпуска. Таким образом, механизмом достижения новой точки равновесия являются структурные изменения в спросе на финансовые активы, а именно уменьшение спроса на деньги при одновременном росте спроса на облигации.

Как показано на рис. 1, в момент времени t макроэкономическая система находится в точке равновесия А.

При ожидании хозяйствующими субъектами повышения процентной ставки они будут стремиться изменить структуру своих финансовых активов, снизив в них долю облигаций и увеличив долю денег на банковских счетах. В этом случае повысится спрос на деньги и снизится спрос на облигации. В результате должен произойти сдвиг кривой IS, к точке С, в которой возросшей процентной ставке будет соответствовать увеличившийся объем совокупного выпуска. Как и в рассмотренном выше случае, в основе действия этого механизма лежит диверсификация финансовых активов. Из вышеизложенного следует вывод, что диверсификация финансовых активов оказывает непосредственное воздействие на сбалансированность экономической системы. Однако этот вывод не является обобщающим, относящимся ко всем сегментам финансового рынка, поскольку в наш анализ до сих пор не был включен такой финансовый актив, как акции. В этой связи следует проанализировать зависимость процессов ценообразования на долговые и долевые ценные бумаги.

Взаимосвязь этих процессов отчетливо проявляется при управлении стоимостью собственного и заемного капитала корпораций. Понижение процентных ставок увеличивает долю долгового финансирования в совокупных пассивах корпораций. И наоборот, рост ставок предопределяет повышение доли собственного капитала. Эконофизические модели применяются как для исследования отдельных особенностей финансового рынка, так и для функционирования этого рынка в целом. Их использование продиктовано необходимостью объяснения ряда явлений в финансах, которые не получили адекватного толкования при применении традиционных экономико-математических моделей. Это касается, прежде всего, неожиданных кризисов, периодически проявляющихся на финансовом рынке, а также высокой волатильности его показателей. Подобные явления фактически не предсказывались при моделировании с использованием обычных методов.

Многие исследователи финансового рынка увидели причину неудач традиционного моделирования в особенностях динамики финансовых показателей. В частности, значительный размах колебаний доходности финансовых активов указывал на то, что происходящие на финансовом рынке процессы не представляли собой случайного блуждания, как это ранее предполагалось. Соответственно, вероятность изменений цен финансовых активов не описывалась как нормальное (гауссовское)  распределение, изображаемое на графике в виде колокола. Исследования показали, что для процесса формирования цен финансовых активов характерны значительные и резкие изменения. Поэтому его график в отличие от графика нормального распределения находится выше оси абсцисс, и его боковые линии не стремятся к этой оси.

В рамках эконофизического подхода была предпринята попытка объяснить такую динамику финансовых показателей с помощью моделей, описывающих явления взаимодействия микрочастиц в статистической физике. Для анализа цен финансовых активов в эконофизике применяется логарифмическая функция доходности.

Такой вид функции обеспечивает инвариантность (безразмерность) изменений по отношению к динамике цен. В этом случае частота изменений цен оказывается независимой по отношению к абсолютным ценам финансовых активов. Кроме того, благодаря использованию логарифмов функции, изменяющиеся экспоненциально, отображаются на графиках прямыми линиями, приобретая визуальную наглядность. В логарифмах функция доходности записывается следующим образом:

где GΔt(t) – доходность в момент времени t;
p(t) – цена финансового актива в момент времени t;
p(t + Δt) – цена финансового актива в момент времени (t + Δt).
Перспективным направлением эконофизического моделирования финансового рынка является многоагентная модель (multi-agent model), предложенная Т. Лаксом и М. Марчези [3]. Данная модель отличается от других эконофизических моделей реалистичностью заложенных в нее предположений. Ее особая значимость состоит в попытке сочетания двух, на первый взгляд, плохо совместимых гипотез – эффективности рынков (efficient market hypothesis) и взаимодействующих агентов (interacting agents hypothesis). Первая состоит в объяснении динамики цен на финансовые активы вновь поступающей на рынок информацией. Соответственно, предполагается, что в ценообразовании преобладают экзогенные факторы.

Напротив, гипотеза взаимодействующих агентов состоит в том, что на цены финансовых активов определяющее влияние оказывают эндогенные факторы, а говоря точнее – взаимодействия субъектов финансового рынка. Этот вывод основан на том, что волатильность и «жирные хвосты» распределения вероятностей при изменениях доходности на финансовом рынке имеют значительное сходство с физическими явлениями взаимодействия частиц.

Модель Лакса–Марчези основывается на следующих постулатах. Спрос на финансовые активы формируется участниками рынка, подразделяемыми на две основные группы: фундаменталистов, основывающих свои действия на фундаментальном анализе рынка, сторонников технического анализа – чартистов (от английского «chart» – чертеж). Последних в некоторых версиях рассматриваемой  модели называют шумовыми трейдерами (noise traders). Чартисты, в свою очередь, подразделяются на оптимистов и пессимистов. Фундаменталисты покупают финансовые активы, когда рыночные цены ниже цен, соответствующих фундаментальным факторам. Соответственно, они продают, когда рыночные цены выше цен, определяемых фундаментальными факторами.

Чартисты-оптимисты приобретают финансовые активы, когда формируется повышательный тренд в динамике цен. Чартисты-пессимисты всегда стремятся зафиксировать прибыль от роста цен на финансовые активы и поэтому они продают их в условиях формирования повышательной тенденции.

В модели Лакса–Марчези используются следующие обозначения [5]:

На выбор чартистов влияет изменение рыночной цены. Исходя из этого предположения определяется вероятностное формирование количества оптимистов (5) и пессимистов (6):

где р – цена,
1 υ , α1, α2 – параметры, определяющие частоту изменений во мнениях.

В рассматриваемой модели допускаются взаимные переходы не только между чартистами-оптимистами и чартистами-пессимистами, но и между ними и фундаменталистами. Вероятность уравнения перехода фундаменталистов в чартисты (U) и обратных переходов (-U) имеют вид:

Элементы U2,1 и U2,2 являются функциями перехода из чартистов в фундаменталисты и наоборот. Эти функции определяются прибылями от использования чартистских или фундаменталистских стратегий и имеют вид:

 

где r – дивиденды;
pf – цена финансового актива, определяемая фундаментальными факторами;
R – средняя доходность активов в экономике (r/pf = R);
α3, 2 υ , s – коэффициенты (s < 1) [5].

Уравнения (10) и (11) включают элементы, отражающие соответственно доходы чартистов и фундаменталистов. В частности, доходы, получаемые с использованием чартистской стратегии, отражают первый элемент уравнения (10), а доходы от фундаменталистской стратегии – второй элемент. Параметры 2 υ и α3 выражают частоту, с которой агенты пересматривают свои стратегии. Дополнительный доход чартистов-оптимистов составляют дивиденды (r) и изменения цены  финансового актива (dp/dt). Появление (p) в знаменателе первого элемента уравнения (10) связано с необходимостью расчета относительной величины дохода. Из полученной величины вычитается средняя доходность финансовых активов (R) в экономике. Это позволяет определить собственную доходность конкретных активов, то есть уровень их доходности по сравнению со среднерыночной.

Использование в уравнении (10) второго элемента, представленного в виде дроби, связано с тем, что фундаменталисты рассматривают в качестве предмета своих операций отклонение рыночной цены актива от величины (pf), которую они считают долгосрочной и справедливой ценой. Причем принимаемые фундаменталистами решения не зависят от знака изменения цены финансового актива. Поэтому второй элемент представлен в уравнении (10) абсолютной величиной. Важно учитывать, что прибыли чартистов реализуются немедленно после проведения операций, а прибыли фундаменталистов – в определенный период в будущем. Для учета этой связи с уравнение введен коэффициент (s < 1).

Уравнение (11) отражает поведение чартистов-пессимистов, которые стремятся избежать убытков и поэтому продают активы, если их цены начинают снижаться. Следовательно, свои действия они основывают на сопоставлении средней доходности (R) с изменениями дивидендов (r) и текущей рыночной цены (dp/dt). Это обстоятельство определяет перестановку местами элементов уравнения (11) по сравнению с уравнением (10).

Изменение цены финансового актива определяется уравнением:

где tc – средний размер сделки;
γ – коэффициент, отражающий скорость отклонения (pf) от (p).
Достоинством анализируемой модели является то, что она включает механизм самоорганизации системы. Этот механизм состоит в том, что после сильных колебаний цен активов происходит резкое сокращение числа чартистов. Большое отклонение цен активов от их долгосрочных (фундаментальных) значений предопределяет высокие доходы фундаменталистов. Это увеличивает их численность за счет сокращения числа чартистов.

Расчеты на основе модели Лакса–Марчези показали, что «фундаментальная» цена, то есть определяемая на основе фундаментальных факторов, и рыночная цена имеют сходную долгосрочную динамику. Однако вторая существенно отклоняется от первой в краткосрочном плане, проявляя в определенные периоды повышенную волатильность. В этой связи Т. Лакс и М. Марчези сделали вывод о том, что финансовый рынок является эффективным в том смысле, что динамика рыночной цены соответствует изменениям «фундаментальной» цены. Вероятностные изменения последней имеют нормальное (гауссовское распределение). Но сильные колебания рыночных цен предопределяют негауссовское распределение их вероятностных характеристик. Система ценообразования на финансовом рынке теряет стабильность, когда число чартистов начинает превышать число фундаменталистов. И наоборот, возвращение части чартистов в ряды фундаменталистов предопределяет относительную устойчивость финансового рынка.

Таким образом, оказывается, что эффективность рынка проявляется в формировании «фундаментальной» цены. На нее оказывают воздействие экзогенные по отношению к финансовому рынку факторы. Но взаимодействие чартистов и фундаменталистов, их взаимные переходы означают, что колебания цен финансовых активов происходят под воздействием эндогенных факторов, формирующихся на финансовом рынке.

Модель Лакса–Марчези представляется нам наиболее разработанной и пригодной для практических расчетов. Однако, теоретическая трактовка этой модели сталкивается с серьезными трудностями. Во-первых, она переносит методы, разработанные для анализа взаимодействия частиц, на взаимодействия субъектов финансового рынка, обладающих способностями к анализу и предвидению. Во вторых, в анализируемой модели предполагается экспоненциальное распределение вероятностей. На наш взгляд, это является упрощением, позволяющим впоследствии сделать вывод о характере перехода чартистов в фундаменталисты, и наоборот. Именно функция этого перехода приводит к выводу о том, что «фундаментальная» цена имеет гауссовское распределение, и, следовательно, в долгосрочном плане финансовый рынок является эффективным. В-третьих, в модели используется ряд параметров, призванных учесть скорость происходящих изменений. Эти параметры не имеют экономической трактовки. Но их основная роль состоит в приближении расчетных показателей модели к вероятностным показателям цен, формирующимся на финансовом рынке.

На наш взгляд, перспективным и важным направлением развития экономико математического моделирования функционирования финансового рынка является изучение условий его качественного роста. Под таким ростом мы понимаем увеличение денежного объема финансового рынка, предопределенного ростом реального сектора экономики, то есть созданием добавленной стоимости. Такое понимание качественного роста позволяет считать, что увеличение рынка за счет спекулятивных операций является кратковременным и заканчивается резким падением объема операций, проводимых с финансовыми активами.

Мы исходим из того, что возможности качественного роста финансового рынка, определяемого процессом создания в экономике добавленной стоимости, всегда ограничены. Поэтому лимитирован объем качественного роста в конкретный период времени. Кроме того, важно отметить, что такой рост связан с операциями фундаментальных участников финансового рынка, чьи сделки формируются на основе средне- и долгосрочного развития экономики. Напротив, сделки спекулянтов (как оптимистов, так и пессимистов) определяют размах рыночных колебаний. Соответственно, равенство объема сделок спекулянтов-оптимистов и спекулянтов-пессимистов представляет собой условие устойчивости финансового рынка.

Эти утверждения выражены нами в следующей модели (в приростных показателях):

где N – совокупный стоимостной объем сделок на финансовом рынке;
H – объем сделок фундаментальных участников;
О – объем сделок спекулянтов-оптимистов;
Р – объем сделок спекулянтов-пессимистов.

Экономический смысл модели (15) состоит в том, что максимизация качественного роста финансового рынка, определяемого увеличением реального сектора экономики, определяется соответствием темпов роста сделок фундаментальных участников темпам роста финансового рынка в целом, а также равными темпами роста сделок спекулянтов-оптимистов и спекулянтов-пессимистов.

Литература
1. Бурлачков В.К. Экономическая наука и эконофизика // Вопросы экономики. 2007. № 12.
2. Финансы: Учебник / Под ред. С.И. Лушина, В.А. Слепова. – 2-е изд. – М.: Экономистъ, 2006.
3. Lux T., Marchesi M. Scaling and criticality in a stochastic multi-agent model of a financial market // Nature. 1999. № 397.
4. Mantegna R., Stanley H. An Introduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance. Cambridge University, 2000.
5. Samanidou E., Zschischang E., Stauffer D., Lux T. Microscopic Model of Financial Markets // http://www2.warvickac.uk/fac/soc/wbs/research

Также по этой теме: