Использование методов линейной алгебры в управленческом учете

В любой организации проблемой является распределение затрат по периодам, подразделениям, объектам калькулирования себестоимости (продукции или услугам); в случае организации управления по центрам ответственности – между центрами ответственности; в комплексных производствах – между основной и сопутствующей продукцией и т. д. Распределение и перераспределение – это трудоемкие расчеты, часто имеющие дело с некоторыми условностями. Причем более высокая точность расчетов требует применения более затратной технологии. А поэтому требуется решение таких вопросов: нужна ли фактическая себестоимость того или иного объекта; насколько точную себестоимость необходимо использовать для выбора продуктового портфеля, ценообразования и др.? В любом случае, приступая к распределению затрат, следует выяснить его цели и сопоставить затраты на технологию с более точным результатом и ожидаемым эффектом от ее применения.

В крупных организациях процесс распределения затрат обслуживающих производств играет ключевую роль в сфере учета и распределения накладных расходов. Обычно распределение себестоимости услуг вспомогательных производств осуществляется на основе количества переданных услуг потребителям и фактической их себестоимости. Проблемы распределения затрат вспомогательных производств возникают в случае оказания ими встречных услуг друг другу. Именно эти проблемы и заложены в основе данной работы. Здесь предполагается, что организация имеет помимо основного производства четыре вспомогательных цеха (цех сетей и электростанций, цех водоснабжения, транспортный цех и ремонтный цех), которые оказывают услуги как друг другу, так и основному производству.

Создание и использование моделей внутри предприятия по каждому цеху во взаимосвязи с другими цехами позволяет организовать рациональное управление ресурсами на предприятии и принимать правильное управленческое решение.

В отечественной теории и практике получил распространение метод оценки встречных услуг на основе плановой себестоимости. В то время как на западных предприятиях популярны три метода распределения услуг вспомогательных производств:
1) прямой (direct);
2) пошаговый (step-down);
3) метод распределения встречных услуг с помощью системы линейных уравнений (reciprocal allocation method or cross-allocation, matrix, double-distribution).

При прямом методе распределения (используемом наиболее широко) игнорируются встречные услуги одного подразделения другому, все услуги списываются на затраты основного производства. В этом случае точность расчетов несколько снижается.

Пошаговый метод состоит в том, что сначала выбирается цех, услуги которого распределяются первыми между вспомогательными и производственными цехами. Далее берется следующий вспомогательный цех и последовательно, шаг за шагом, продолжается распределение. Подразделение, оказавшее минимальный объем услуг, рассматривается последним. Этот метод более точен, чем прямой.

При методе распределения с помощью системы линейных уравнений:
1) стоимость оказанных встречных услуг выражается через линейную зависимость, т. е. строится система линейных уравнений;
2) решается система;
3) затраты вспомогательных цехов распределяются пропорционально количеству оказанных услуг.

В данной работе рассматриваются различия первого и третьего метода, выражающиеся во влиянии на сумму затрат каждого вспомогательного цеха.

Рассматривая третий метод, дадим сначала определение балансовой модели, лежащей в его основе. Балансовая модель – это система уравнений, характеризующих наличие ресурсов в натуральном и денежном выражении и направления их использования. При этом наличие ресурсов и потребность в них количественно совпадают. Такая система уравнений решается методами линейной алгебры.

Практическое применение модели состоит в том, что на предприятиях, имеющих кроме основного производства вспомогательные подразделения, оказывающие работы, услуги как друг другу, так и основному производству, определяется себестоимость этих работ, услуг.

Нахождение себестоимости работ, услуг начинается с составления таблицы 1, в которой приводятся значения оказанных работ, услуг цехами и их собственные затраты, связанные с этим оказанием, за месяц.

Таблица 1

Взаимное предоставление работ, услуг за месяц

В таблице 2 приведен общий вид взаимосвязи оказываемых цехами работ, услуг.

Таблица 2

Матрица взаимосвязей работ (услуг)

где - qij — количество работ, услуг j-го цеха, поступивших в i-й цех;
yi — общие затраты цеха-потребителя (являющегося и поставщиком услуг);
Qj — общий объем работ, услуг, отпущенных в натуральных единицах;
pi — собственные затраты (условно-постоянные и переменные) без стоимости услуг других цехов;
xi — себестоимость единицы работы, услуги цеха.

Подставим в таблицу 2 некоторые данные из таблицы 1 (табл. 3). 

Таблица 3

Взаимное предоставление работ, услуг вспомогательными цехами

На основании таблицы 2 составляется система двух групп неизвестных: xi – себестоимость единицы работ, услуг; yi – общие затраты каждого цеха с учетом оказанных ему работ, услуг:

Выражение переменных yi в системе (1) запишем следующим образом:

Подставим полученные равенства (2) в систему уравнений (1) для переменных xi и получим результат:

Заменяя в системе уравнений (3) p, q, Q на числовые значения, получим:

После несложных преобразований система (4) принимает вид:

Решив эту систему, узнаем себестоимость единицы работы, услуги каждого вспомогательного цеха (x1, x2, x3, x4). Однако сделать это без использования математических программ достаточно сложно, поэтому воспользуемся MathCAD 2001 Russian Update. Для определения значений x1, x2, x3, x4 есть несколько способов.

1-й способ. Непосредственное решение системы уравнений.

На рабочем листе MathCAD`а вводится в английской раскладке клавиатуры блок решения (solve block), состоящий из:
- слова Given (дано);
- непосредственно системы уравнений;
- выражения Find(var1, var2, …) (найти переменную 1, 2 …).

Для ввода чисел и математических знаков можно использовать панель инструментов «Калькулятор», для ввода знака «равно» – панель «Логическая».­­

Получим следующее:

Given

4203000 x 1 – 2000 x 2 – 3400 x 3 – 150 x 4 = 67100
–42000 x 1 + 616000 x 2 – 1600 x 3 – 250 x 4 = 3125
–5500 x 1 – 3200 x 2 + 314000 x 3 – 350 x 4 = 38043
–70000 x 1 – 2800 x 2 – 10100 x 3 + 20900 x 4 = 49152

Здесь необходимо сделать два замечания:
1) для нумерации переменных x не используется нижний индекс;
2) знак «равно» должен применяться тот, который находится на панели инструментов «Логическая», а не в привычном его понимании (так как в MathCAD`е есть еще кнопки «Численная оценка» и «Присвоение», обозначаемые также в виде знаков равенства).

Заключительная часть блока решения должна содержать записанное выражение: Find (x1, x2, x3, x4) и знак «®» («Символическая оценка»), находящийся на панели инструментов «Оценка». После этого следует нажать клавишу «Enter». На экране появится ответ, состоящий по столбцу из четырех обыкновенных дробей, которые лучше выразить в виде десятичных. Для этого на панели инструментов «Оценка» или «Калькулятор» нажимается кнопка «Численная оценка» (знак «=»). В итоге будем иметь:

Поскольку в MathCAD`е по умолчанию должно быть только три знака после запятой, то установить большее количество разрядов можно, открыв окно «Формат результата» (меню «Формат» – команда «Результат»), где есть счетчик для отображения нужного числа разрядов. (Большее число разрядов необходимо для последующего сравнения себестоимости, полученной с помощью прямого метода, и расчета более точной суммы отклонения.) Ответ готов:
x1 = 0,01616 руб./кВтч (цех сетей и электростанций);
x2 = 0,00749862 руб./куб.м (цех водоснабжения);
x3 = 0,12427 руб./тонно-км (транспортный цех);
x4 = 2,46694 руб./нормо-ч (ремонтный цех).

2-й способ. Решение системы уравнений с помощью определителей.

Так как в рассматриваемой системе число уравнений равно числу неизвестных, то решить ее можно методом Крамера. Это предполагает нахождение пяти определителей: общего и четырех частных.

Запишем на рабочем листе MathCAD`а следующую матрицу:

Знак «:=» называется «Присвоением» и находится на панели «Оценка» или «Калькулятор». Задаем матрицу, нажав соответствующую кнопку на панели «Матрица» (или Ctrl+M), а в появившемся окне указываем количество строк и столбцов (по четыре), затем вводим в пустую форму числа, стоящие при неизвестных (x) в системе (5).  

Для нахождения определителя этой матрицы ниже (именно ниже, а не справа, слева или вверху, так как в этих случаях вычисление будет затруднено) записываем букву А, нажимаем кнопку «Детерминант» на панели «Матрица» и кнопку «Численная оценка» (знак «=») на панели «Оценка» или «Калькулятор». В результате получим:

Общий определитель найден, причем он не равен нулю.

Далее находим частные определители  (B, C, D, E) по переменным x1, x2, x3, x4, следуя тому же алгоритму, который приведен выше. В матрицах, соответствующих этим определителям, столбец свободных членов (стоящих после знака «равно» в системе (5) должен находиться:
- на первом месте – в матрице B;
- на втором – в C;
- на третьем – в D;
- на четвертом месте – в матрице E.

Оставшиеся свободные ячейки заполняем числами, стоящими при неизвестных в системе. В итоге на рабочем листе MathCAD`а должно быть:

Так как общий определитель не равен нулю, то система уравнений (5) имеет единственное решение, состоящее из четырех корней. Для их нахождения введем формулы:

Получим следующий результат:

Система (5) решена:
x1 = 0,01616 руб./кВтч (цех сетей и электростанций);
x2 = 0,00749862 руб./куб.м (цех водоснабжения);
x3 = 0,12427 руб./тонно-км (транспортный цех);
x4 = 2,46694 руб./нормо-ч (ремонтный цех).

3-й способ. Решение системы с помощью матричного способа.

Этот способ требует составления уравнения в матричном виде, решением которого будет являться матрица со значениями себестоимости оказанных цехами работ, услуг.

Введем следующие матрицы:

В матрице Q заполнена только главная диагональ, показывающая, сколько всего оказали 1, 2, 3, 4-й цеха услуг (работ) в натуральном выражении. Элементы матрицы q показывают объем оказанных цехом-поставщиком услуг в натуральных единицах цеху-потребителю. Главная диагональ в матрице q содержит нули, так как цех не оказывает услуг себе.

Для того чтобы составить уравнение в матричном виде, необходимо преобразовать систему уравнений (3) следующим образом. Домножим первое, второе, третье и четвертое уравнения системы соответственно на Q1, Q2, Q3 и Q4 и перенесем в левую часть каждого уравнения все члены, за исключением соответственно p1, p2, p3 и p4. Получим модифицированную систему уравнений (6):

Из этой системы видно, что из каждого элемента матрицы Q вычитается каждый элемент транспонированной матрицы q (обозначение – qT). Получить транспонированную матрицу в MathCAD`е необходимо так: ввести ниже букву q, нажать кнопку «Транспонированная матрица» на панели «Матрица» и кнопку «Численная оценка» (знак «=») на панели «Оценка» или «Калькулятор»:

Разность матриц Q и qT в соответствии с системой уравнений (6) умножается на матрицу-столбец себестоимости единицы работ, услуг (X), результатом чего является матрица-столбец собственных затрат цехов (P). Запишем это в матричном виде:

где X – матрица-столбец себестоимости единицы услуг (работ) цехов;
P – матрица-столбец собственных затрат цехов в рублях.

Введем матрицу P, состоящую из четырех строк и одного столбца, на рабочий лист MathCAD`а:

Для нахождения элементов матрицы X выразим ее из уравнения (7), используя свойства матриц; получим следующее уравнение:

где (Q – qT)–1 – обратная матрица.

Уравнение (8) запишем на рабочем листе MathCAD`а, присвоив матрице X произведение матриц (Q – qT)–1 и P :

Степень «минус один» можно ввести, нажав кнопку «Обратно» на панели «Матрица» либо кнопку «Возвести в степень» на панели «Калькулятор» и записать знак «минус» (–) и число «1».
Под полученной формулой запишем букву X и нажмем кнопку «Численная оценка»; получим ответ в виде себестоимости единицы работ, услуг:

Итог решения тремя способами, естественно, одинаков:
x1 = 0,01616 руб./кВтч (цех сетей и электростанций);
x2 = 0,00749862 руб./куб.м (цех водоснабжения);
x3 = 0,12427 руб./тонно-км (транспортный цех);
x4 = 2,46694 руб./нормо-ч (ремонтный цех).

Общую сумму затрат по каждому вспомогательному цеху находим с помощью следующего уравнения (см. систему уравнений (2)):

где pi – собственные затраты цехов (вторая графа табл. 3).

Получим:
y1 = 67100 + (0 х 0,01616 + 2000 х 0, 00749862 + 3400 х 0,12427 + 150 х 2,46694) = 67907,540 руб. (цех сетей и электростанций);
y2 = 3125 + (42000 х 0,01616 + 0 х 0, 00749862 + 1600 х 0,12427 + 250 х 2,46694) = 4619,150 руб. (цех водоснабжения);
y3 = 38043 + (5500 х 0,01616 + 3200 х 0,00749862 + 0 х 0,12427 + 350 х 2,46694) = 39019,288 руб. (транспортный цех);
y4 = 49152 + (70000 х 0, 01616 + 2800 х 0,00749862 + 10100 · 0,12427 + 0 х 2,46694) = 51559,060 руб. (ремонтный цех).

Сумма произведений в скобках есть не что иное, как стоимость услуг каждого вспомогательного цеха, полученных от других цехов (встречных услуг). Таким образом, был рассмотрен метод распределения встречных услуг с помощью системы линейных уравнений.

В начале работы уже указывалось, что на практике часто используется прямой метод распределения услуг вспомогательных производств, который не учитывает стоимость оказанных встречных услуг. Поэтому и себестоимость оказанных работ, услуг каждым цехом будет измененной, определяемой делением собственных затрат вспомогательных цехов в рублях на сумму оказанных работ, услуг в натуральном выражении (графа «Всего» в таблице 1). Собственные затраты каждого цеха будут для него являться общими. Рассчитаем эту себестоимость, пользуясь данными таблицы 1:
х1' = 67100 / 4203000 = 0,01596 руб./кВтч (цех сетей и электростанций);
х2' = 4118 / 500000 = 0,00507305 руб./куб.м (цех водоснабжения);
х3' = 24020 / 250000 = 0,12116 руб./тонно-км (транспортный цех);
х4' = 36785 / 20000 = 2,35177 руб./нормо-ч (ремонтный цех).

Определим отклонение себестоимости работ, услуг, рассчитанную прямым методом и с применением системы уравнений, в таблице 4.

Таблица 4

Расчет отклонения себестоимости единицы услуги для каждого цеха

Из таблицы 4 видно, что себестоимость оказываемых цехами работ и услуг с учетом встречных услуг выше, чем без учета таковых. Суммарное месячное отклонение составило 12,01 коп.

В таблице 5 приводится отклонение общих затрат вспомогательных цехов с учетом встречных услуг от собственных затрат. Сумма отклонения (графа 4) по каждому цеху равна сумме встречных услуг, оказанных данному цеху.

Таблица 5

Расчет суммы отклонения общих затрат вспомогательных цехов (в руб.)

В итоге в случае использования прямого метода затраты вспомогательных цехов, списываемые на основное производство организации, за месяц занижены на 5685,038 руб. (или при средней сумме 5600 руб. в месяц отклонение за год составит 5600 х 12 = 67200 руб.).

Отклонение в 5685,038 руб. можно рассчитать и как сумму произведений отклонения себестоимости единицы работы, услуги (графа 4 таблицы 4) на общий объем оказанных работ, услуг в натуральном выражении (графа «Всего» в таблице 1):

Д = 0,0001921 x 4203000 + 0,0024256 x 616000 + 0,0031092 x 314000 + 0,1151703 x 20900 = 807,540 + 1494,150 + 976,288 + 2407,060 = 5686,038 (руб.).

Важность и принципиальность рассчитанного отклонения каждое предприятие определяет для себя само, т.к. внедрение и использование описанной модели сопряжено с индивидуальными для каждой организации трудностями. Но общий вывод таков: правильное и уместное применение математических методов в управлении не только затратами на предприятии, но и отдельными экономическими процессами обеспечит менеджеров и бухгалтеров по управленческому учету четкой и логической информацией, позволяющей принять адекватное решение по той или иной проблеме.

ЛИТЕРАТУРА

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учебник. – 10-е изд., испр. – М.: Физматлит, 2004. – 304 с.
2. Каверина О.Д. Управленческий учет: системы, методы, процедуры. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 352 с.
3. Плис А.И. MATHCAD 2000. Математический практикум для экономистов и инженеров: Учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 656 с.
4. Теория анализа хозяйственной деятельности: Учебник /Под общей редакцией В. В. Осмоловского. – Минск: Новое знание, 2001. – 318 с