Стилизованная оптимизация портфелей акций с помощью копул

Ацканов И.А.,
Магистр экономических наук, аспирант Национального
Исследовательского университета «Высшая школа экономики»

Аннотация. Данная статья предлагает методику стилизованной оптимизации инвестиционного портфеля. Под стилизованным инвестиционным портфелем подразумевается портфель, состоящий из акций, которые по тому или иному набору критериев соответствуют определенному стилю инвестирования – стоимости, росту, качеству, дивидендам, «моментуму». Полученные оптимизированные стилизованные портфели сравниваются по ряду критериев. По результатам исследования эти портфели демонстрируют более качественные показатели, чем бенчмарк – индекс ММВБ – Полный доход.

ВВЕДЕНИЕ
Классификация различных стилей инвестирования встречается не только в литературе, но и при определении некоторыми профессиональными участниками индустрии управления активами своей стратегии. Довольно часто встречаются фонды, исповедующие тот или иной стиль инвестирования и ориентированные на конкретный круг инвесторов. Наиболее широко распространенные стили инвестирования – стоимость, рост, качество, дивиденды, «моментум». При этом подавляющая часть литературных источников, посвященных различным стилям инвестирования, концентрируется исключительно на критериях классификации и относительной доходности и игнорирует вопрос построения оптимального портфеля, соответствующего тому или иному стилю. Основной целью данной работы как раз и является разработка процедуры построения и оптимизации стилизованных портфелей акций и оценка ее целесообразности.

В качестве объекта исследования выбран российский рынок акций. Стилизованные портфели будут оптимизироваться с учетом ограничений, накладываемых регулятором на открытые паевые инвестиционные фонды (далее – ПИФы) акций. Таким образом, результаты исследования могут представлять интерес для профессиональных участников рынка в равной мере, как и для частных инвесторов.

В качестве основного инструмента исследования выбраны копулы. Копула представляет собой функцию совместного распределения двух или нескольких случайных величин. Используя копулу, можно оценить вероятность наступления сразу нескольких событий, в частности вероятность того, что группа активов покажет определенную доходность в течение определенного промежутка времени. Это позволяет оценить риск портфеля и, соответственно, может быть важной составляющей при оптимизации портфеля. В последнее время все большее применение в научных исследованиях получают GAS-копулы, позволяющие учитывать изменение в уровне взаимосвязи через изменение значения функции максимального правдоподобия.

Настоящее исследование структурировано следующим образом. В разделе 1 приводится обзор основных работ, связанных с данной статьей. В разделе 2 приводится описание инструментов исследования и процедуры оптимизации портфеля, а раздел 3 содержит основные полученные результаты.

1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
Копулы были предложены A. Sklar [1] еще в 1959 г., но основные исследования по части применения копул в финансах стали появляться намного позже – после 2000 г. (к примеру, работы следующих авторов: P. Embrechts et al. [2], L. Deng et al. [3], A.J. Patton [4; 5], P. Embrechts и A. Dias [6], M. Mesfioui и J.F. Quessy [7], C. Ning [8], J. Hu [9]). С основными аспектами применения и вычисления копул можно ознакомиться в работе исследователя A.J. Patton [10]. Данные работы в целом были посвящены вопросам оценки взаимосвязи доходностей активов и построения инвестиционного портфеля. Основной посыл многих из этих работ заключался в том, что коэффициенты взаимосвязи меняются с течением времени и для объяснения поведения финансовых рынков уместно использовать динамическую копулу. При этом наиболее популярная на данный момент модификация динамической копулы была предложена D. Creal et al. [11].

С точки зрения построения портфеля ключевой является работа H. Markowitz [12], которая предлагает процедуры оптимизации инвестиционного портфеля активов на основе их статистических показателей. Применение копул для оптимизации инвестиционного портфеля можно найти в работах исследователей A.J. Patton [4], L. Deng et al. [3], Y. Hong et al. [13], S. Ortobelli et al. [14], M. Bai и L. Sun [15], P. Christoffersen и H. Langlois [16], P. Christoffersen et al. [17], R. Garcia и G. Tsafack [18], И. Ацканов [19; 20]. Работы различаются как по набору исследуемых активов (акции, облигации, фондовые индексы), так и по типу используемых моделей копул.

Среди работ, посвященных исследованиям различных стилей инвестирования, можно выделить работы, посвященные: акциям роста и акциям стоимости (F. Bourguignon и M. de Jong [21], R. Bird, L. Casavecchia [22], L.K.C. Chan и J. Lakonishok [23]); акциям качества (R. Novy-Marx [24], C. Asness et al. [25], J.P. Bouchaud et al. [26]) и акциям «моментум» (Т.В. Теплова [27], A. Ejaz и P. Polak [28], A. Balakrishnan [29], C. Geczy и M. Samonov [30]). Данные работы преимущественно рассматривают стратегии «лонг-шорт», в основе которых лежит тот или иной стиль инвестирования. При этом вопрос оптимизации портфелей не решается, что является ключевой предпосылкой данного исследования.

2. ДАННЫЕ И МЕТОДОЛОГИЯ
В качестве данных в исследовании используются дневные значения цен основных акций отечественных эмитентов, обращающихся на Московской, Лондонской и Нью-Йоркской фондовых биржах. Всего исследовано около 60 финансовых инструментов. Все цены пересчитываются в рубли по курсу на соответствующую дату. Период анализа – 2007 г.–февраль 2017 г. Помимо дневных цен используются также значения мультипликаторов Price-to-Book, ROE и дивидендные доходности акций. Основной источник данных – терминал Bloomberg.

Моделирование динамических многомерных копул можно разделить на два этапа.

Этап I. Построение предельных равномерных распределений доходностей финансовых инструментов. Это подразумевает своеобразную нормировку данных по каждому активу.

Этап II. Построение совместного распределения доходностей финансовых активов с помощью копулы на основе полученных на первом этапе предельных равномерных распределений.

Для этапа I понадобятся данные по логарифмической доходности активов, с которыми необходимо проделать ряд преобразований. Для моделирования предельных распределений доходностей каждой акции используется следующая модель (подробнее можно посмотреть в работе A.J. Patton [14]):

где  – доходность актива i в момент времени t;
 – математическое ожидание доходности актива i на основе данных, доступных до момента времени t;
 – соответствующее стандартное отклонение актива i на основе данных, доступных до момента времени t;
 – соответствующая ошибка;
 – множество информации, доступной до момента времени t.

Моделирование математического ожидания производится с помощью ARMA с возможным порядком до (5,5), где оптимальный порядок определяется с помощью критерия BIC. Критерий будет также использоваться при определении оптимального порядка модели GJR-GARCH до порядка (2,2) при моделировании стандартного отклонения. Эти модели далее используются, чтобы вычислить стандартизированные остатки:

где  – вектор оптимальных параметров моделей математического ожидания и стандартного отклонения.

Полученные стандартизированные остатки далее используются для построения совместного распределения на основе GAS-модификации обратной копулы Гумбеля, которая делает больший акцент на взаимосвязи отрицательных доходностей. Выбор данной копулы связан с несколькими ее преимуществами. Вопервых, GAS-копулы позволяют отслеживать изменения в характеристиках совместного распределения величин, что весьма важно, если учитывать, что объект исследования – это цены финансовых инструментов, поведение которых может меняться со временем. Во-вторых, так как наибольший интерес представляют риски, которые несут рассматриваемые финансовые инструменты, причем под риском подразумевается снижение стоимости актива, то выбор обратной копулы Гумбеля, которая делает акцент на взаимосвязи отрицательных доходностей, также представляется разумным решением.

GAS-модель определяет параметр копулы, зависящий от времени, который вычисляется на основе предыдущего значения параметра и функции максимального правдоподобия копулы. Для того чтобы параметр лежал внутри интервала [-1, 1], что важно для оценки уровня взаимосвязи, параметр соответствующим образом трансформируется:

где  – значение функции максимального правдоподобия;
 – строго возрастающее преобразование параметра копулы;
 – значение скоринга функции максимального правдоподобия.

После вычислений временных параметров копул всех пар активов можно переключаться на составление оптимального портфеля. Так как в случае данного исследования стояла задача – разработать процедуру стилизованной оптимизации инвестиционных портфелей, под каждый из пяти стилей выполнена отдельная процедура. Тем не менее основной шаблон выглядит следующим образом:
1) пусть Т – это очередной момент формирования состава инвестиционного портфеля. При этом для оценки предельных распределений и параметров GASкопул каждой пары финансовых инструментов используются данные по доходностям соответствующих акций и депозитарных расписок на отрезке [T-365, Т];
2) на основе оптимальных параметров строится матрица ранговой корреляции доходностей соответствующих акций и депозитарных расписок;
3) методом симуляции Монте-Карло на копулах получаются ожидаемая доходность каждого из активов, а также оценка риска по соответствующему значению коэффициента СVaR;
4) строится эффективная граница портфеля путем минимизации общего портфельного CVaR для набора желаемых портфельных доходностей:

где – вес актива i в портфеле;
 – оценка ожидаемой доходности актива i;
 – общее количество активов;
5) в общем случае выбирается портфель с наибольшим соотношением риск/доходность:

где  – ожидаемая доходность портфеля;
 – вектор весов активов;
 – риск этого портфеля, коэффициент значимости задан значением 0,99;
6) полученный вектор весов W используется в качестве структуры портфеля до следующего момента времени Т, на котором состав портфеля пересматривается с помощью шагов 1–7.

Кроме требования положительности всех весов, так как в ПИФах акций не разрешены короткие позиции по акциям и депозитарным распискам, есть также ограничение на долю одного эмитента в портфеле, не превышающую в момент перебалансировки 15% от общей стоимости портфеля:

При определении частоты пересмотра состава портфеля основной предпосылкой было регулирование ПИФов, а именно положение, согласно которому при превышении доли одного эмитента в портфеле больше чем на 15% вследствие изменения рыночной стоимости нарушение должно быть ликвидировано в течение месяца. Соответственно портфели пересматриваются на ежемесячной основе. Для модификации процедуры под каждый конкретный стилизованный портфель будет видоизменяться шаг 5. Далее описывается, каким образом это будет осуществляться.

Акции роста, как правило, определяются как акции компании, чья рыночная стоимость выглядит завышенной относительно текущих фундаментальных показателей. Это несоответствие объясняется тем, что ожидания роста финансовых показателей компании у инвесторов  существенно выше, чем ожидания роста в среднем по рынку/сектору/стране. Для классификации акций роста в данном исследовании используется мультипликатор Price-to-Book: чем он выше, тем больше акция соответствует критериям акции роста. Стилизованный портфель в таком случае будет оптимизироваться по следующему критерию:

где  – усредненный мультипликатор портфеля в соответствии с весами W активов.

Акции стоимости определяются как акции компании, чья рыночная стоимость не в полной мере отражает финансовые показатели компании в сравнении со средним значением по рынку/сектору/стране, т.е компания недооценена.

Как и в предыдущем случае, для поиска акций стоимости используется мультипликатор Price-to-Book, только в данном случае отбираются акции с наименьшим значением. Целевая функция оптимизации выглядит следующим образом:

Акции качества характеризуются высокими показателями рентабельности. При отборе акции качества выбираются акции компаний со сравнительно высокими коэффициентами ROE или ROA. В данном исследовании используется коэффициент ROE, так как по нему имелось больше данных, соответственно, выборка была объемнее. Целевая функция оптимизации выглядит следующим образом:

где  – значение коэффициента ROE для портфеля с весами W.

Акции «моментум» характеризуются относительно высоким изменением цены за определенный период. В исследовании рассмотрены «моментумы» за 3, 6 и 12 месяцев. Для каждой периодичности строится свой портфель. При этом целевая функция выглядит следующим образом:

где  – средневзвешенное изменение цены акций в портфеле с весами W за предыдущий период.

Дивидендные акции – это акции с наибольшей дивидендной доходностью.
При стилизованной оптимизации получается портфель, сбалансированный по рискам и дивидендной доходности. Целевая функция:

где  – средневзвешенная дивидендная доходность портфеля с весами W.

Так как соответствие конкретной акции тому или иному стилю инвестирования определяется относительно всех других акций выборки, разумным представляется рассмотреть несколько списков – Топ-30%, Топ-40% и Топ-50% акций, наилучшим образом удовлетворяющих тому или иному критерию конкретного стиля. В таком случае для каждого стиля, кроме «моментум», получится 3 портфеля, оптимизированных на основе соответствующих списков. В случае акций «моментум» также рассматриваются 3 периодичности (3, 6 и 12 месяцев), соответственно, получается 9 стилизованных портфелей «моментума». Далее для каждого из стилей выбирается наилучший портфель.

Полученные стилизованные портфели сравниваются между собой через различные показатели эффективности управления портфелем – накопленную доходность, среднегодовую доходность, среднегодовое стандартное отклонение, среднегодовое негативное стандартное отклонение, коэффициент Шарпа, коэффициент Сортини, максимальную просадку капитала, коэффициент Gain-To-Pain. Подробное описание коэффициентов можно найти в работе [20, c. 8].

3. ЭМПИРИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
По результатам оптимизации различных вариантов стилизованных портфелей было выбрано по одному наиболее эффективному. Далее было произведено сравнение отобранных 5 портфелей, соответствующих каждому из 5 рассмотренных стилей (рост, стоимость, качество, дивиденды и «моментум»), между собой и в отношении индекса ММВБ – Полный доход, учитывающего дивидендные выплаты. Динамика изменения стоимости портфеля представлена на рис. 1.

Как видно из рисунка, предложенная процедура оптимизации инвестиционного портфеля позволяет получить результаты, превосходящие бенчмарк для каждого стиля. Наиболее доходными на отечественном рынке акций являются стилизованные портфели акций роста Топ-30% и акций «моментум» за 12 месяцев Топ-50%, однако в первой половине анализируемого периода лидирующим стилем были акции стоимости. Из графика можно сделать также два интересных вывода относительно кризиса 2008 г.:
1) акции, которые первыми начали снижаться перед глобальным финансовым кризисом 2008 г., были акции роста;
2) акции, которые начали восстанавливаться быстрее остальных после глобального финансового кризиса 2008 г., – это акции качества и акции стоимости.

В табл. 1 приведены значения различных показателей эффективности для каждого из стилизованных портфелей и бенчмарка. Как видно из таблицы, портфели акций стоимости и акций «моментум» близки не только с точки зрения накопленной доходности, но и с точки зрения риска. У них также очень близкие значения коэффициентов Gain-To-Pain, Шарпа и Сортини, но у акций «моментум» показатели несколько выше. Индекс ММВБ – Полный доход является наименее рискованным, но более высокий риск стилизованных портфелей оправдан более высоким отношением доходности к риску.

В дополнение уместно рассмотреть возможные издержки, связанные с управлением стилизованными портфелями. В табл. 2 указаны показатели среднегодового оборота портфеля и средние транзакционные издержки в процентах от стоимости портфеля. Под транзакционными издержками понимаются комиссия за сделку (принята на уровне 0,15% за сделку, что является довольно высокой оценкой для российского рынка брокерских услуг) и проскальзывание, т.е. различие между текущей ценой и ценой, по которой в действительности удалось купить или продать акцию (принята на уровне 0,2% – экспертная оценка). Как видно из табл. 2, влияние транзакционных издержек на доходность стилизованных портфелей ограниченно, хотя в случае с портфелем акций «моментум» издержки могут составлять более 1% в год; соответственно, возможно, из соображений экономии большее предпочтение будет отдано портфелю акций роста.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной статье были разработаны и проанализированы методики оптимизации инвестиционных портфелей, позволяющих получить эффективные портфели, соответствующие одному из конкретных стилей инвестирования – стоимости, росту, качеству, дивидендам, «моментуму». При этом в целевой функции оптимизации использовалось соотношение ожидаемой доходности и риска, где в качестве прокси ожидаемой доходности для каждого из стилей использовался отдельный критерий, характеризующий этот стиль. Стилизованные портфели строились на основе акций российских компаний в период с 2006 по 2017 г. и далее сравнивались с бенчмарком – индекс ММВБ – Полный доход. При этом на портфели накладывались определенные ограничения, соответствующие нормам регулирования открытых паевых инвестиционных фондов акций в Российской Федерации.

Другим важным вкладом данной работы является применение нового инструмента в отношении проблемы динамической оптимизации инвестиционного портфеля – GAS-копулы, позволяющей учитывать изменения в уровне взаимосвязи и совместного риска активов в динамике – на примере отечественного рынка.

По результатам исследования удалось показать для всех рассмотренных стилей преимущество предложенной методики как в отношении бенчмарков, так и в отношении более традиционного подхода к оптимизации инвестиционного портфеля. Кроме того, стилизованные портфели были сопоставлены между собой. С точки зрения отношения ожидаемой доходности к риску наиболее успешными в анализируемом периоде оказались портфели акций роста и портфели акций «моментум», хотя в период с 2007 по 2011 г. основным лидером был портфель акций стоимости. Отдельно был проведен анализ возможных издержек. Даже с их учетом все стилизованные портфели, оптимизированные по разработанной методике, существенно опережают бенчмарк.

Результаты данной статьи могут представлять практический интерес как для профессиональных портфельных управляющих и риск-менеджеров, так и для частных инвесторов с математическим складом ума, так как управление стилизованными портфелями по предложенной методике требует серьезных вычислений. Однако важно отметить, что данная процедура оптимизации, скорее, должна служить дополнительным инструментом в процессе принятия инвестиционных решений. Важные вопросы, которые не могут быть решены исключительно по предложенной методике, включают, но не ограничиваются следующим: управление экспозицией на отдельные стили/классы активов, хеджирование отдельных рисков, ограничение убытков, тайминг и др. Решение этих вопросов должно позволить среди прочего ограничить размер максимальной просадки, который для предложенных стилизованных портфелей довольно велик.

Литература
1. Sklar A. Fonctions de rйpartition а n dimensions et leurs marges // Publications de l’Institut de Statistique de l’Universitй de Paris. – 1959. – Vol. 8. – P. 229.
2. Embrechts P., McNeil A.J., Straumann D. Correlation: Pitfalls and alternatives // Risk Magazine. – 1999. – Vol. 12. – No. 5. – P. 69.
3. Deng L., Ma C., Yang W. Portfolio Optimization via Pair Copula-GARCH-EVT-CVaR Model // Systems Engineering Procedia. – 2011. – Vol. 2. – P. 171.
4. Patton A.J. On the out-of-sample importance of skewness and asymmetric dependence for asset allocation // Journal of Financial Econometrics. – 2004. – Vol. 2. – No. 1. – P. 130.
5. Patton A.J. Modeling asymmetric exchange rate dependence // International Economic Review. – 2006. – Vol. 47. – No. 2. – P. 527.
6. Embrechts P., Dias A. Dynamic copula models for multivariate high-frequence data in finance // Working paper. – 2004. ETH-Zьrich.
7. Mesfioui M., Quessy J.F. Dependence structure of conditional Archimedean Copulas // Journal of Multivariate Analysis. – 2008. – Vol. 99. – No. 3. – P. 372.
8. Ning C. Extreme dependence in international stock markets // Working Paper, Ryerson University. – 2009.
9. Hu J. Dependence structures in Chinese and U.S. financial markets: A time-varying conditional copula approach // MPRA Paper. – 2008. – No. 11401.
10. Patton A.J. Copula Methods for Forecasting Multivariate Time Series. Handbook of Economic Forecasting Volume 2. – A.: Elsevier, 2013.
11. Creal D., Koopman S.J., Lucas A. Generalized autoregressive score models with applications // Journal of Applied Econometrics. – 2013. – Vol. 28. – P. 777.
12. Markowitz H. Portfolio selection // The Journal of Finance. – 1952. – Vol. 7. – No. 1. – P. 77.
13. Hong Y., Tu J., Zhou G. Asymmetries in stock returns: Statistical tests and economic evaluation // Review of Financial Studies. – 2007. – Vol. 20. – No. 5. – P. 1547.
14. Ortobelli S., Biglova A., Rachev S.T., Stoyanov S. Portfolio Selection Based on a Simulated Copula // Journal of Applied Functional Analysis. – 2010. – Vol. 5. – No. 2. – P. 177.
15. Bai M., Sun L. Application of copula and copula-CVaR in the multivariate portfolio optimization // ESCAPE’07 Proceedings of the First international conference on Combinatorics, Algorithms, Probabilistic and Experimental Methodologies. – 2007. – P. 231.
16. Christoffersen P., Langlois H. The Joint Dynamics of Equity Market Factors // Journal of Financial and Quantitative Analysis. – 2013. – Vol. 48. – No. 5. – P. 1371.
17. Christoffersen P., Errunza V., Jacobs K., Langlois H. Is the Potential for International Diversication Disappearing? // Review of Financial Studies. – 2012. – Vol. 25. – No. 12. – P. 3711.
18. Garcia R., Tsafack G. Dependence Structure and Extreme Comovements in International Equity and Bond Markets // Journal of Banking & Finance. – 2011. – Vol. 35. – No. 8. – P. 1954.
19. Ацканов И.А. Динамическая оптимизация инвестиционного портфеля с использованием парных копул на примере основных фондовых рынков Европы // Прикладная эконометрика. – 2015. – Т. 40. – № 4. – С. 84.
20. Ацканов И.А. Применение GAS-копул для оптимизации инвестиционного портфеля акций российских компаний // Финансы и кредит. – 2016. – Т. 704. – № 32. – С. 25.
21. Bourguignon F., De Jong M. Value versus growth – investor styles and stock characteristics // Journal of Portfolio Management. – 2003. – Vol. 29. – No. 4. – P. 71.
22. Bird R., Casavecchia L. Sentiment and financial health indicators for value and growth stocks: The European experience // The European Journal of Finance. – 2007. – Vol. 13. – No. 8. – P. 769.
23. Chan L.K.C., Lakonishok J. Value & growth investing: Review and Update // Financial Analysts Journal. – 2004. – Vol. 60. – No. 1. – P. 71.
24. Novy-Marx R. The Other Side of Value: The Gross Profitability Premium // Journal of Financial Economics. – 2013. – Vol. 108. – No. 1. – P. 1.
25. Asness C., Frazzini A., Pedersen L. Quality Minus Junk // Draft, AQR Capital Management. – 2013.
26. Bouchaud J.P., Ciliberti S., Landier A., Simon G., Thesmar D. The Excess Returns of “Quality” Stocks: A Behavioral Anomal // Working Paper, CFM-Imperial Institute of Quantitative Finance. – 2016.
27. Теплова Т.В. Моментум-эффект на рынке акций и инвестиционная торговая стратегия «по течению»: методики тестирования и развитие модели ценообразования финансовых активов // Управление финансовыми рисками. – 2013. – Т. 4. – № 36. – C. 282.
28. Ejaz A., Polak P. Short-term momentum effect: a case of middle east stock markets // Business: Theory and Practice. – 2015. – Vol. 16. – No. 1. – P. 104.
29. Balakrishnan A. Size, Value, and Momentum Effects in Stock Returns: Evidence from India // SAGE Publications. – 2016. – Vol. 20. – No. 1. – P. 1.
30. Geczy C., Samonov M. Two Centuries of Price-Return Momentum // Financial Analysts Journal. – 2016. – Vol. 72. – No. 10. – P. 32.