Модели оценки рыночных рисков

Арис Е.Т.,
аспирант негосударственного образовательного учреждения
высшего профессионального образования
«Московский финансовопромышленный университет «Синергия»
начальник отдела этического комплаенса и комплаенса на рынках
капитала Департамента Комплаенса АО СК «Альянс», г. Москва

Статья посвящена обзору моделей, которые позволяют оценивать рыночные риски, однако в первую очередь в статье описан метод VaR. Показатель потенциальных потерь портфеля VaR (Value at Risk) является наиболее популярной мерой рыночного риска. Концепция VaR применяется не только в отношении рыночного риска. Идея VaR не в том, чтобы оценить величину риска каким-либо показателем, а в том, чтобы вычислить величину потерь, которые несет риск. На сегодняшний день этот показатель широко применяется в частном секторе. Пользуясь значением VaR, инвесторы и лица, занятые на управленческих должностях, могут принять решение касательно целесообразности владения данным видом активов при данном уровне риска или оценить эффективность хеджирования риска.

В статье также рассмотрены модели для рыночного риска – CAPM, APT и Market Model, которые оценивают риск в относительном выражении как доли от риска рыночного портфеля. Оценка риска осуществляется применением регрессионного анализа.

ВВЕДЕНИЕ
Финансовые риски можно выразить количественно, для этого применяются статистические методы, которым и будет посвящена данная статья. Целью данной работы является обзор моделей, которые позволяют оценивать рыночные риски. При этом задачи, поставленные в работе: описание моделей, с учетом их актуальности на сегодняшний день и вводимых допущений, а также указания достоинств и недостатков. В первую очередь в статье описан метод VaR.

Показатель VaR является первичной мерой оценки потенциальных потерь, он позволяет получить оценку наибольшего значения потерь стоимости рискового актива или портфеля в денежном выражении на заданном временном горизонте и уровне значимости. Показатель является универсальным, его можно применять для разных видов рисков.

1. ОЦЕНКА ФИНАНСОВОГО РИСКА АКЦИИ
Чем выше уровень риска по ценным бумагам, тем выше их доходность. Реальная доходность вложений не всегда совпадает с ожидаемой. Поэтому, как показано в «Основах финансового менеджмента», риск можно описать как «изменчивость доходности в сравнении с ее ожидаемой величиной» [1].

Реальная доходность ценных бумаг может значительно отличаться от ожидаемой, это неверно только для безрисковых бумаг. Для оценки риска ценных бумаг можно использовать распределение вероятностей доходности, которое охарактеризуем рассчитанными математическим ожиданием доходности и стандартным отклонением.

Математическое ожидание (или среднеожидаемое значение) – это не что иное, как сумма всех возможных исходов, взвешенных по их вероятности (или частости), т.е. средняя взвешенная:

где Ri – доходность и Pi – ее вероятность.

Кроме ожидаемого значения полезно знать, насколько наши возможные исходы однородны, т.е. важна степень разброса исходов. Для этого применяется стандартное отклонение. Стандартное отклонение доходности от ожидаемой – достаточно хорошая мера оценки риска. Чем выше значение стандартного отклонения, тем более неопределенным является значение доходности:

Также используется коэффициент вариации, рассчитываемый как отношение стандартного отклонения к среднеожидаемому значению. Коэффициент вариации есть мера относительной дисперсии риска. Он может принимать значение от нуля до единицы (от 0 до 100%) в зависимости от степени дифференциации исходов. Чем показатель ниже, тем выше степень предсказуемости:

2. РИСК ПОРТФЕЛЯ
Ожидаемая доходность портфеля есть средневзвешенное среднеожидаемых доходностей входящих в него ценных бумаг. Здесь в отличие от расчета стандартного отклонения портфеля нет никаких трудностей.

Ожидаемая доходность портфеля

где wi – веса, по которым взвешиваются ожидаемые доходности, вычисляются как доля средств, вложенных в ценную бумагу i.

В отличие от ожидаемой доходности портфеля стандартное отклонение доходности не может рассчитываться как средневзвешенное своих компонентов (в данном случае стандартных отклонений доходности ценных бумаг). Как говорят авторы «Основ...»: «Расчет стандартного отклонения портфеля как простого средневзвешенного составляющих означал бы игнорирование взаимосвязи, или ковариации доходностей ценных бумаг».

Стандартное отклонение портфеля рассчитывается по формуле

где wj и wk – доли средств, инвестированные в бумаги j и k; σj,k – ковариация возможных значений j и k.

Таким образом, в случае портфеля уровень риска зависит от рискованности отдельных ценных бумаг и ковариации.

Риск портфеля имеет две составляющие:
1) систематический риск (неизбежный, или недиверсифицируемый, например, из-за изменений в экономике, проводимых правительством);
2) несистематический риск (который можно избежать, он не зависит от экономических факторов).

3. VaR
Необходимость осуществления эффективного управления рисками привела к возникновению уникальной меры риска – показателя потенциальных потерь портфеля VaR (в русскоязычной литературе этот показатель встречается как стоимость под риском). На сегодняшний день этот показатель широко применяется в частном секторе. Пользуясь значением VaR, инвесторы и лица, занятые на управленческих должностях, могут принять решение касательно целесообразности владения данным видом активов при данном уровне риска (например, сравнивая величину показателя с размером прибыли или величиной собственного капитала компании, чтобы убедиться в том, что покрытие потерь произойдет без угрозы для компании) или оценить эффективность хеджирования риска. Чаще всего им пользуются коммерческие и инвестиционные банки, чтобы получить информацию о потенциальных потерях стоимости торгуемых ими портфелей вследствие неблагоприятной динамики на рынке [2]. Для банков он является весьма актуальным, так как для них критично предусматривать маловероятные события, когда огромные убытки влекут за собой потерю капитала и уход клиентов.

VaR может быть вычислен для индивидуального актива, портфеля активов и для отдельной компании. Данный показатель позволяет получить оценку наибольшего значения потерь стоимости рискового актива или портфеля в денежном выражении на заданном временном горизонте и уровне значимости [3].

Таким образом, в конечном числовом показателе, полученном методом VaR, учтены рыночные риски, которым подвержен портфель, и вероятность неблагоприятных изменений значений финансовых переменных [Там же].

Показатель VaR является первичной мерой оценки потенциальных потерь.

Необходимо принимать во внимание тот факт, что это всего лишь оценка, которая легко подвержена влиянию ошибки измерения исходных данных.

К тому же VaR чувствителен к выбираемому уровню значимости. Любое полученное значение показателя имеет смысл только для данного уровня значимости. Изменение уровня значимости заведомо приводит к отличному от прежнего значению VaR. Предоставляя сведения о значении VaR, имеет смысл указывать также и его доверительный интервал, чтобы можно было проследить, насколько оцененное значение VaR точно.

Перед тем как вычислять VaR, необходимо численно задать два параметра: временной горизонт и уровень значимости. Оба фактора задаются произвольно. Выбор уровня значимости отражает степень склонности к риску агента или компании, осуществляющих такой выбор, а также их субъективную оценку дополнительных издержек, возникающих в случае, когда потери превышают значение VaR. Чем меньше агент/компания склонны к риску, тем больше средств необходимо выделять для покрытия потенциальных потерь и следует выбирать больший уровень значимости.

Пусть случайная величина Х – это стоимость портфеля на конец рассматриваемого временного интервала. Пусть – это наименьшая стоимость портфеля на конец периода при данном уровне значимости α (или по-другому соответствует 100(1 – α)-му перцентилю). Или, по-другому, стоимость портфеля будет превышать значение с вероятностью α в течение заданного промежутка времени. На рис. 1 представлена некоторая функция распределения плотности вероятности случайной величины Х, обозначим эту функцию как f(Х). При введенных обозначениях верно следующее равенство: α = +∞ ∫ f(X)dХ [Там же]. VaR определяется как абсолютная разница между ожидаемой и наименьшей при данном уровне значимости α стоимостью портфеля на конец периода, измеренными в денежных единицах: VaR = E(X).

3.1. История метода
Показатель VaR стал широко использоваться в 1990-е гг. Но истоки развития модели лежат в начале ХХ в.

Поначалу в экономической науке исследователями велись обсуждения предмета, скорее, на интуитивном уровне, без применения математического аппарата (HardyCharlesO. Risk and Risk-Bearing. – Chicago: University of Chicago Press, 1923; HicksJohnR. A suggestion for simplifying the theory of money // Economica. – 1935. – Vol. 2. – No. 5). Затем, в 1945 г., Dickson H. Leavens впервые предложил количественную оценку VaR, рассчитав ее для портфеля облигаций при предположении о биномиальном распределении исходов и независимости событий [4]. Позже последовали оценки, предложенные в один и то же год исследователями MarkowitzHarryM. (Portfolio Selection // Journal of Finance. – 1952. – Vol. 7. – No. 1) и RoyArthurD. (Safety first and the holding of assets // Econometrica. – 1952. – Vol. 20. – No. 3), которые занимались теорией оптимизации портфелей акционерных инвесторов. Ранние оценки VaR предлагались в рамках портфельной теории, их особенностью была крайне слабая применимость для реального сектора, долговых инструментов и фьючерсных контрактов. В дальнейшем (1970–1980-е гг.) развивались возможности применения VaR для более широкого перечня активов.

Практическое использование VaR началось государственными регулирующими органами с целью обеспечения достаточности капитала.

В 1980 г. ввиду возникшей небывалой волатильности процентных ставок и, как следствие, возросших рисков Комиссия по ценным бумагам и биржевым операциям (Securities and Exchange Commission (SEC), главный регулятор рынка ценных бумаг США), ввела систему требований для фирм, ведущих операциис ценными бумагами. В сущности, эта система предъявляла требование фирмам рассчитывать показатель, который являлся зачаточной формой оценки VaR с одномесячным временныJм горизонтом и 95%-м уровнем значимости, и резервировать капитал величиной, равной этому показателю [2]. Позднее фирмы, ведущие операции с ценными бумагами, стали использовать VaR и для внутренних целей. Можно говорить о том, что с 1993 г. VaR использовался для регулирования достаточности капитала и в Европейском союзе. Директива ЕС о достаточности капитала (Capital Adequacy Directive (CAD)), предназначенная для регулирования функций финансовых институтов, устанавливала единые стандарты достаточности капитала для осуществляющих операции с ценными бумагами банков и финансовых фирм. В соответствии с ней минимальные требования к капиталу, учитываемому в торговой книге (или книге торговых сделок), в которой регистрируются разнообразные инструменты в распоряжении банка (облигации, акции, опционы, форвардные контракты и т.д.), основывались на показателе, который сосредоточивался на потерях банка и который, грубо говоря, являлся оценкой VaR с десятидневным временныJм горизонтом и 95%-м уровнем значимости [4].

С течением времени портфели, торгуемые коммерческими и инвестиционными банками, становились все больше и волатильнее, появилась необходимость разработки сложных показателей для управления риском. Кеннет Гарбейд (Kenneth Garbade) в 1986 г., будучи сотрудником американской компании Bankers Trust Cross Markets Research Group, в одном из отчетов компании для институциональных клиентов предложил показатели VaR для оценки требуемого резервного капитала для портфелей с фиксированным доходом [Там же]. К началу 1990-х многие финансовые компании разработали свои показатели, напоминающие VaR, и способы их измерения. В конце 1980-х J.P. Morgan разработал свою внутреннюю систему VaR. В системе моделировались сотни факторов, определяющих риск, и информация обновлялась ежеквартально. В числе многих показателей рассчитывался однодневный VaR с 95%-м уровнем значимости. В 1995 г. J.P. Morgan начал публиковать методологию расчетов, необходимые варационно-ковариационные матрицы для различных активов. Услуга получила название RiskMetrics, а выходная информация, получаемая из публикуемых данных, – название VaR. Услуга сразу нашла своих клиентов среди коммерческих и инвестиционных банков, регулирующих органов. На современном этапе VaR находит свое применение и среди нефинансовых компаний.

3.2. Историческое моделирование
Историческое моделирование является самым простым способом оценки Value at risk. Идея метода основана на том, что динамика стоимости портфеля на выбранном предстоящем временном интервале предполагается такой же, как и в прошлом. На основе собранных данных за определенный период по динамике факторов, влияющих на риск, рассчитывается, насколько плохо в денежном выражении может измениться положение фирмы (с вероятностью, равной уровню значимости). На первом этапе необходимо определить перечень тех показателей, которые воздействуют на уровень риска, связанного с имеющимся портфелем активов. Вторым шагом следует собрать данные за интересующий интервал времени (T дней) до настоящего момента о значениях выбранных показателей.

Затем на основе данных за T дней рассчитать T сценариев их дневной динамики.

Дневную динамику показателей следует измерять в относительном выражении.

Пусть Vi – это значение одного из показателей в i-й день из промежутка {0; T}. Каждый день из промежутка получает номер от 1 до T в хронологическом порядке, где день Т обозначает настоящий момент. Зная значение рассматриваемого показателя в настоящий момент (VТ), можно рассчитать значение показателя на завтра, VТ+1, в соответствии с i-м сценарием:

Используя подобные расчеты для предстоящего изменения рыночных показателей, можно вычислить изменения стоимости портфеля для каждого сценария. Получив T прогнозных значений на завтрашний день и расположив их в порядке возрастания, необходимо выбрать то значение, которое соответствует 100 × (1 – α)-му перцентилю, где α есть выбранный уровень значимости. Это значение и есть ранее упомянутый . Теперь не составляет труда перейти к оценке дневного Value at Risk, высчитав среднее значение X (оценку его математического ожидания) и вычтя из него найденный . Если вместо дневной оценки VaR необходимо провести оценку для какого-либо другого интервала, можно либо рассматривать соответствующую динамику факторных показателей и проводить необходимые расчеты для них, либо, предполагая нормальность распределения значений этих показателей, дневное значение VaR умножать на квадратный корень длительности этого интервала в днях.

Из метода следует, что каждый из T сценариев в прошлом имеет равные шансы на то, чтобы быть реализованным завтра вне зависимости от того, насколько далеко во времени день этого сценария отстоит от настоящего времени, иначе говоря, каждому из T сценариев придается равный вес. Таким образом, если в данных наблюдается временной тренд, этот факт не будет учтен в оценке VaR, вычисленной методом исторического моделирования [2].

В данном методе можно при необходимости избежать использования допущений о типе распределения данных, что является значительным плюсом, ведь это снижает возможность допустить ошибки при оценивании.

3.3. Вариационно-ковариационный метод (однодневное значение VaR)
Во-первых, необходимо каждый из индивидуальных активов в портфеле разложить на k более простых инструментов, которые в совокупности генерируют аналогичные денежные потоками, например на облигации с нулевым купоном. Вторым шагом необходимо определить позиции (длинную или короткую) по простым инструментам, которые описывают каждый из изначальных индивидуальных активов [Там же].

Необходимо ввести некоторые обозначения.

Пусть Vp обозначает стоимость портфеля, под ΔVp будет пониматься дневное изменение стоимости портфеля. Пусть αi обозначает позицию по i-му простому инструменту, где положительный знак αi означает длинную позицию по активу, а отрицательный – короткую. Однодневное изменение доходности i-го простого инструмента есть ΔRi.

Тогда справедливо равенство

Третьим шагом необходимо оценить вариационно-ковариационную матрицу для изменения доходности всех k инструментов:
Cov(ΔRi; ΔRj) = corr(ΔRi; ΔRj) × σ(ΔRi) × σ(ΔRj), ∀i,j ∈ [1; k].

Теперь можно вычислить дисперсию изменения стоимости всего портфеля, т.е.  , которая равна  

Если предположить нормальность распределения изменений доходности всех k инструментов, то получится, что и изменение доходности портфеля есть нормальная случайная величина, ведь из теории вероятностей известно, что сумма нормально распределенных случайных величин является нормально распределенной случайной величиной. Остается оценить значение Value at Risk для нужного уровня значимости.

Для этого из таблицы нормального распределения необходимо найти статистику, соответствующую уровню значимости, и умножить ее на ранее вычисленное стандартное отклонение изменения стоимости портфеля.

3.4. Недостатки и достоинства VaR
В силу того что, рассчитывая VaR, необходимо задавать уровень значимости, модель упускает из внимания потери в крайне больших размерах, на которые приходится низкая вероятность (первый недостаток). Вторым недостатком является то, что метод VaR плохо чувствителен к форме распределения вероятностей, это приводит к недооценке риска. На рис. 2 изображен случай, когда распределение вероятностей изменения стоимости портфеля двумодально (моды M1 и M2) и одна из мод находится левее VaR. Это свидетельствует о том, что существует некоторая недоучтенная окрестность значений денежных потерь, вероятность которых достаточно высока, это окрестность моды M1.

В подобном случае имеет смысл рассмотреть условный VaR (C-VaR), который вычисляет размер потерь при условии, что потери превышают величину VaR. «В то время как показатель VaR отвечает на вопрос: насколько плохой может стать ситуация?, показатель C-VaR отвечает на вопрос: сколько мы потеряем, если ситуация станет плохой?» [5].

Третий недостаток. Многие методы вычисления основываются на предпосылке о нормальности распределения вероятностей изменения стоимости портфеля. Если же предпосылка о нормальности не выполняется, то оценка VaR оказывается смещенной. Если фактически наблюдается большое количество выбросов, истинное значение VaR должно быть существенно выше, чем расчетное его значение [2].

Разные методы вычисления VaR в разной степени основываются на данных о прошлой динамике показателей. Использование исторических данных говорит о том, что рассчитываемые величины – это всего лишь оценки, которые могут нести в себе ошибки.

Наконец, VaR не удовлетворяет аксиоме о субаддитивности [6]. Это значит, что возможны ситуации, когда сумма VaR для индивидуальных активов меньше, чем VaR для портфеля, состоящего из этих индивидуальных активов, т.е. когда риск портфеля выше. Это не подвергается никакой интерпретации, ведь портфель и составляется с целью снижения риска, чтобы иметь возможность снизить капитал, резервируемый на покрытие риска.

Одно из преимуществ Value at Risk состоит в том, что этот показатель легко интерпретируется. Благодаря тому, что он измеряется в денежном выражении, на языке VaR можно свободно донести информацию до акционеров, представителей государственных органов или аудиторов. Другое преимущество модели в том, что вычисления достаточно просты, пусть и требуют существенных временныJх затрат.

4. CAPM
Общий риск, связанный с владением активом, подразделяется на диверсифицируемый риск и на недиверсифицируемый риск (или рыночный риск). Таким образом, посредством диверсификации можно частично избавиться от части риска. Именно этим и объясняется целесообразность для инвестора владения портфелем активов, а не просто индивидуальным активом. «Риск портфеля, измеряемого среднеквадратическим отклонением доходности, как правило, меньше средней величины риска отдельных активов, входящих в портфель» [7]. Степень возможной диверсификации определяется величиной общего риска активов, входящих в портфель, а также корреляцией их доходностей.

«Модель CAPM устанавливает связь между риском и требуемой доходностью активов, представляющих хорошо диверсифицированный портфель» [Там же].

Зависимость между ожидаемой доходностью портфеля и уровнем систематического (или рыночного) риска описывается уравнением кривой SML (Securities Market Line). В рамках данной работы эта модель интересна тем, что, используя вышеупомянутую зависимость, можно оценить на практике уровень систематического риска портфеля, имея информацию о его доходности.

Модель CAPM была введена Вильямом Шарпом (William Sharpe) в 1964 г., за что в 1990 г. был удостоен Нобелевской премии. На протяжении многих лет модель используется для оценки фирмами стоимости капитала (исходя из вычисления требуемой доходности). Как говорят исследователи Фама и Френч [8], привлекательность данной модели определяется тем, что она дает объяснимые и соответствующие экономической интуиции рекомендации о том, как оценивать риск и зависимость ожидаемой доходности от него.

4.1. Предпосылки модели
Модель CAPM является однопериодной моделью. Инвесторы выбирают портфель в момент t = 0, который принесет доходность в конце периода, момент t = 1.Каждый инвестор отличается функцией полезности, которая определяет степень принятия риска. «Инвесторы являются рискофобами и, выбирая портфель активов, принимают во внимание только его ожидаемую доходность и волатильность доходности» [Там же]. В модели получение и предоставление заемных средств осуществляется по безрисковой ставке, и эта ставка не зависит от величины займа. Все активы абсолютно делимы и совершенно ликвидны.

Нет налогов. Инвесторы не влияют на цены, являясь получателями цены (pricetakers).

Количество финансовых активов неизменно.

Основной результат модели CAPM: уравнение линии рынка ценных бумаг (Securities Market Line):

где E(Ri) – ожидаемая доходность актива i, а βiM – ковариация доходности его актива с рыночной доходностью, деленная на дисперсию рыночной доходности;
М – рыночный портфель. В рыночном портфеле присутствуют все активы, которые есть на рынке, а их вес в портфеле определяется из соотношения их суммарной стоимости и стоимости всех активов на рынке.

Уравнение показывает зависимость доходности E(Ri) от βiM. Первое слагаемое уравнения есть доходность активов, у которых β-коэффициент равен нулю. Так как получение и предоставление заемных средств осуществляются по безрисковой ставке, ожидаемая доходность активов, которые не коррелируют с рыночным портфелем, должна равняться Rf. Второе слагаемое называется премией за риск (дополнительная к безрисковой доходность, которая компенсирует принятие риска).

β-коэффициент есть «чувствительность доходности актива i к изменению доходности рыночного портфеля» [Там же]. Он измеряет риск ценной бумаги в относительном выражении. β-коэффициент рыночного портфеля равен единице, так как ковариация его доходности с самой собой равна дисперсии доходности рыночного портфеля. Если β-коэффициент актива меньше единицы, то его риск меньше, чем у рыночного портфеля, тогда изменение его доходности происходит медленнее, чем доходность рыночного портфеля.

«Тенденция отдельной акции может изменяться вместе с рынком содержит риск <…>. Этот компонент общего риска называется рыночным, или недиверсифицируемым, риском» [7]. Риск меряется в стандартных отклонениях доходности рыночного портфеля, соответственно, рыночный риск актива равен βiM σM [Там же]. На практике уровень рыночного риска, связанного с активом (или портфелем активов), можно исследовать построением линейной регрессии, взяв за зависимую переменную доходность интересуемого актива, а за объясняющую переменную – рисковую премию на единицу β. В качестве доходности рыночного портфеля обычно берется фондовый индекс, который вычисляется по большому количеству бумаг (например, S&P 500), а за безрисковую ставку берется доходность по краткосрочным государственным обязательствам (например, доходность облигаций Казначейства США).

4.2. Достоинства и недостатки САРМ
«Поскольку САРМ логична в том смысле, что отражает поведение инвесторов, стремящихся максимизировать доходы при заданном уровне риска и доступности всех необходимых данных, она представляет собой полезный концептуальный метод» [Там же]. Но в модели делается большое количество допущений. Результатом большого количества упрощающих допущений модели является ее слабое эмпирическое подтверждение. На слабую «проверяемость» влияет и то, что тяжело в реальности подобрать портфель, который схож с рыночным портфелем в модели.

5. ДРУГИЕ МОДЕЛИ
Существуют и другие модели, схожие с CAPM. Так, более сложной версией модели CAPM является модель APT (Arbitrage Pricing Theory), предложенная в 1976 г. Стефаном Россом [9]. Данная модель является факторной и при необходимости (при выборе соответствующих факторов) способна приводить к выводам CAPM. Основное предназначение модели для ценообразования активов – исследуется зависимость ожидаемой доходности актива от различных факторов (в модели CAPM такой фактор один – рыночная премия). В том числе модель можно применять и для оценки рыночного риска.

Другой схожей моделью является Market Model. В данной модели также предполагается [10] линейная зависимость доходности актива и доходности рыночного портфеля. Для получения хороших оценок (и в этой и в других моделях, где предполагается построение регрессий) необходимо, чтобы остатки не носили систематический характер (E(e) = 0) и были ортогональны вектору наблюдений по объясняемой переменной. При этом никаких ограничений на совместное распределение регрессора и объясняемой переменной не делается. В своей статье [11] автор A.C. MacKinlay говорит, что на практике фондовые индексы применяются в качестве объясняющего фактора (доходности рыночного портфеля).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Наиболее популярной мерой рыночного риска является показатель потенциальных потерь портфеля VaR (Value at Risk). Концепция VaR была описана вначале, так как она применяется не только в отношении рыночного риска. Идея VaR не в том, чтобы оценить величину риска каким-либо показателем, а вычислить величину потерь, которые несет риск. В конечном числовом показателе, полученном методом VaR, учтены рыночные риски, которым подвержен портфель, и вероятность неблагоприятных изменений значений финансовых переменных.

Однако, как было показано, оценки VaR сильно зависят от выбираемого уровня значимости, что является недостатком метода. Другим недостатком является то, что метод упускает из внимания потери в крайне больших размерах, на которые приходится низкая вероятность, и он плохо чувствителен к форме распределения вероятностей, это приводит к недооценке риска.

Преимущество Value at Risk состоит в том, что этот показатель легко интерпретируется благодаря тому, что он измеряется в денежном выражении. Другое преимущество модели в том, что вычисления достаточно просты, пусть и требуют существенных временныJх затрат.

В статье также рассмотрены модели для рыночного риска – CAPM, APT, Market Model, которые оценивают риск в относительном выражении, как долю от риска рыночного портфеля. Оценка риска осуществляется применением регрессионного анализа. Преимущество моделей в том, что они дают объяснимые результаты, показывающие, что экономически агенты максимизируют доходность при выбранном уровне риска. Проблема с применением моделей в том, что, для того чтобы полученные оценки были адекватными, необходимо подобрать объясняющую переменную, которая хорошо описывает рыночный портфель (теоретический).

Литература
1. Хорн Джеймс К. Ван, Вахович Джон М. мл. Основы финансового менеджмента. – 12-е изд.: пер. с англ. – М.: ООО «И.Д. Вильямс», 2008.
2. Value at Risk (VaR) [Электронный ресурс]. URL: pages.stern.nyu.edu/~adamodar/pdfiles/papers/VAR.pdf (дата обращения: 25.04.2018).
3. Jorion Philippe. Measuring the Risk in Value at Risk // Financial Analysts Journal. – Vol. 52. – No. 6 (Nov.-Dec., 1996). – Pp. 47–56.
4. Holton Glyn A. History of Value-at-Risk: 1922–1988 // Working paper. – 2002. – July 25.
5. Халл Джон К. Опционы, фьючерсы и другие финансовые инструменты. – 6-е изд. – М.: ООО «И.Д. Вильямс», 2008.
6. Introduction to Value at Risk [Электронный ресурс]. URL: economicsnetwork.ac.uk/archive/standrews_phd/menkens_Introduction_to_VaR.pdf (дата обращения: 26.04.2018).
7. Бригхем Ю., Гапенски Л. Финансовый менеджмент: полный курс: В 2 т. / пер. с англ.; под ред. В.В. Ковалева. – СПб., 2001. Т. 1. ХХХ+497 с.: Т. 2. – 669 с.
8. Fama Eugene F., French Kenneth R. The Capital Asset Pricing Model: Theory and Evidence // The Journal of Economic Perspectives. – Vol. 18. – No. 3 (Summer, 2004). – Pp. 25–46.
9. Ross Stephen A. The arbitrage Theory of capital Asset Pricing // Journal of Economic Theory. – No. 13 (1976). – Pp. 341–360.
10. Stapleton R.C. and Subrahmanyam M.G. The Market Model and Capital Asset Pricing Theory: A Note // The Journal of Finance. – Vol. 38. – No. 5 (Dec., 1983). – Pp. 1637–1638.
11. MacKinlay A.Craig, Event Studies in Economics and Finance // Journal of Economic Literature. – Vol. 35. – No. 1 (Mar., 1997). – Pp. 13–39.