Опубликовано в журнале "Финансовый менеджмент" №5 год - 2010
Черемушкин С.В.,
к. э. н., доцент кафедры
государственного и муниципального управления
ГОУ ВПО «Мордовский государственный университет
им. Н.П. Огарева»
Введение
При решении множества экономических задач возникает необходимость в применении процедуры дисконтирования денежных потоков. Хотя в учебной литературе дисконтирование подается как рутинная техника, на деле приходится сталкиваться с некоторыми проблемами, которые ставят под сомнение точность получаемых результатов.
В подавляющем большинстве случаев анализируются рисковые денежные потоки, для которых требуется определить адекватную премию за риск. Уже на этой стадии появляются затруднения. Как узнать величину премии за риск, требуемой инвесторами?
Обычно рекомендуется использовать модель CAPM, но все больше исследователей указывают на ее явные недостатки. Во-первых, она не очень хорошо ложится на эмпирические данные (Фама и Френч, 2003). Во-вторых, CAPM часто выдает противоречивые результаты: низкую или даже отрицательную премию за рыночный риск в период кризисов и высокую премию в период экономических подъемов, что не может соответствовать действительному положению вещей (ведь в периоды экономических подъемов осторожность инвесторов притупляется, а в периоды спадов они, напротив, стараются избегать риска). Кроме того, остается проблема оценки премии за риск для закрытых и неликвидных компаний, по которым отсутствуют рыночные цены акций, на основании которых принято выявлять премию за риск. Но такие компании и преобладают в экономике. Но это лишь верхушка айсберга.
Статья подготовлена при финансовой поддержке гранта РГНФ, проект № 09-02-00177А.
Применение скорректированной на риск ставки дисконтирования RADR для дисконтирования денежных потоков преобладает в литературе и на практике. Но при этом редко обращается внимание на ограниченность данного подхода и на некоторые сомнительные моменты в отношении оценки рисков для денежных потоков, удаленных на несколько периодов от момента оценки. Применение RADR предполагает экспоненциальное возрастание риска денежных потоков во времени, хотя это не всегда обосновано реальным поведением денежных потоков. Напротив, неопределенность многих временных рядов достаточно умеренно возрастает во времени, и при использовании RADR стоимость этих денежных потоков неоправданно занижается. При использовании дисконтирования совершенно не учитывается временная функция разрешения неопределенности ожидаемого денежного потока, которая может оказывать весьма существенное влияние на его стоимость.
Но рисковые денежные потоки преподносят и иные сюрпризы. Даже зная премию за риск, часто приходится ломать голову над довольно распространенными ситуациями, в которых привычные алгоритмы оказываются бессильными.
К примеру, каким образом выразить риск первоначальных денежных оттоков, осуществляемых в нулевом периоде? В литературе инвестиционные денежные оттоки принято считать безрисковыми, но это слишком сильное упрощение. Часто они рискованны не в меньшей степени, чем ожидаемые денежные потоки.
Метод RADR в том виде, в котором он сегодня существует, не способен интегрировать эти моменты, но это не значит, что методологию дисконтирования денежных потоков в принципе нельзя усовершенствовать.
Ученые и практики неоднократно обращали внимание на эти проблемы, но так и не предложили простых, универсальных и практичных методов решения указанных выше проблем. Вместе с тем дисконтирование лежит в основе практически любого финансового и экономического анализа и в значительной степени оказывает влияние на итоговые оценки.
В данной статье будут рассмотрены распространенные затруднения при оценке рисковых денежных потоков и предложена расширенная методология дисконтирования, охватывающая любую произвольно задаваемую функцию разрешения неопределенности ожидаемых денежных потоков. Такая методология позволяет более адекватно учесть изменение риска денежных потоков по времени. Временная функция возрастания неопределенности может быть установлена на основе отдельного анализа риска денежных потоков или задана на основе реалистичных допущений. В любом случае преимущество перед привычным подходом состоит в том, что риск и временная стоимость денег учитываются раздельно, и в отношении риска указывается эксплицитная временная структура.
Отстаивается целесообразность применения метода безрисковых эквивалентов, который может быть приведен в соответствие с моделью вычисления требуемой премии за риск. Преимущество метода безрисковых эквивалентов в том, что он позволяет получить прозрачные в отношении риска оценки недисконтированных денежных потоков, весьма полезные в аналитическом отношении. Такая информация может пригодиться в управлении рисками и на стадии реализации инвестиционных проектов.
Цель исследования. В статье рассматриваются недостатки и ограничения существующих подходов к дисконтированию рисковых денежных потоков, предлагается универсальная методология дисконтирования, основанная на методе безрисковых эквивалентов, преимуществами которой является возможность оценивать однократные рисковые денежные потоки в начальный момент оценки, а также встраивание различных функций возрастания неопределенности во времени и функций разрешения неопределенности для получения более точных оценок на начало каждого периода для всего горизонта прогнозирования денежных потоков. Данный подход достаточно прост в реализации и совместим с любыми способами оценки премии за риск денежных потоков, в которых риск выражается их стандартным отклонением для соответствующего периода времени, и предоставляет большую гибкость в сравнении с методом скорректированной на риск ставки процента, при котором риск имплицитно возрастает во времени по схеме компаундирования процентов, независимо от характера и типа денежных выплат. В предлагаемой методологии поведение риска во времени может быть задано эксплицитно на основе известной информации о природе риска денежных потоков.
Организация и методы исследования. В статье используются стилизованные контр-примеры, простая формализация, мысленные эксперименты для обнаружения противоречий в применяемых методах дисконтирования денежных потоков, рекурсивный алгоритм для вывода доказательства теорем дисконтирования денежных потоков с различными схемами разрешения неопределенности во времени.
Научная новизна. Представлен алгоритм выявления вмененной волатильности денежных потоков в любой момент на основе эквивалентности моделей дисконтирования с использованием безрисковых эквивалентов и скорректированной на риск ставки дисконтирования; доказываются теоремы дисконтирования денежных потоков с различными временными структурами разрешения неопределенности и функциями возрастания неопределенности в зависимости от удаленности денежной выплаты от момента оценки, например, с указанием функции стохастического процесса Винера для денежных выплат с риском блуждающего типа, или с указанием постоянного риска для денежных выплат с риском типа лотереи (в этом случае риск не будет возрастать во времени, и премия за риск применяется только в последнем периоде, а в предшествующие периоды дисконтируются по безрисковой ставке процента).
Практическая применимость. В статье представлены конкретные формулы, применимые для дисконтирования денежных потоков с любыми временными структурами неопределенности на основе широко доступной информации о риске денежных потоков, которая традиционно используется при определении эффективности инвестиционных проектов, оценке стоимости фирм, анализе и управлении рисками; представлены стилизованные примеры, раскрывающие недостатки и ограничения популярных методов дисконтирования денежных потоков и иллюстрирующие порядок применения предлагаемой методологии; подчеркиваются различия в способах оценки повторяющихся и однократных рисковых денежных потоков; решается проблема оценки риска первоначальных инвестиционных денежных оттоков и иных однократных выплат; поясняются условия и порядок применения отрицательной премии за риск для отрицательных денежных потоков.
Однократные денежные потоки и премия за риск: проблемы и методы оценки
Применение скорректированной на риск ставки дисконтирования RADR к удаленным во времени денежным потокам механически задает определенный график возрастания риска во времени, который обычно не имеет ничего общего с действительной зависимостью риска во времени. Более того, нередки ситуации, в которых риск денежной выплаты вообще никак не зависит от времени ее осуществления, что, например, имеет место при проведении лотереи или неопределенности, вытекающей из некоего физического процесса (наступление страховых случаев, поломок оборудования, порчи товаров и т. п.). В таких ситуациях RADRдисконтирование выдает заведомо некорректные результаты.
В данном контексте важно отметить, что риск денежных потоков для простоты выражается их стандартным отклонением от ожидаемого значения. Стандартное отклонение удобно тем, что его относительно легко определить на основе наблюдаемых исторических данных или смоделировать с помощью вероятностного имитационного моделирования с использованием специализированного программного обеспечения. При использовании данного допущения появляется возможность ввести риск напрямую в анализ конкретных будущих денежных потоков, в том числе и в формулы дисконтирования. Преимущество такого подхода состоит в том, что используются обоснованные, а не обобщенные для фирмы, данные о риске, извлекаемые из рыночных котировок, или просто взятые с потолка. Многие признают, что оценка рисков путем дисконтирования по RADR далека от точности, но продолжают настаивать на необходимости ее проведения. Все это указывает на наличие пробелов в данном разделе теории финансов, которые требуется незамедлительно устранить, так как оценка рисков, как уже отмечалось, стала рутинной задачей, и применение искаженных оценок не только отражается на репутации современной финансовой науки, но и зачастую напрямую вредит бизнесу.
Стандартное отклонение в рамках методологии CAPM и в формуле дисконтирования денежных потоков задается для доходности актива. Денежный поток также можно рассматривать в качестве актива, и тогда его стандартное отклонение необходимо перевести в стандартное отклонение доходности денежного потока, что задается самой формулой дисконтирования.
Стандартное отклонение обычно рассчитывается для повторяющихся денежных потоков или доходностей для одного периода времени и при использовании его для оценки риска денежных потоков, удаленных на несколько периодов, риск будет возрастать за счет накопления стандартных отклонений по схеме, представленной на рис. 1. Необходимо лишь сделать уточнение: риск возрастает нелинейно и в большинстве случаев на основе анализа исторических временных рядов имеется возможность вывести статистически значимую функцию возрастания волатильности во времени или использовать некоторые разумные допущения, основанные на знании природы источников риска денежных потоков.
В рамках модели CAPM стандартное отклонение в течение короткого периода (недели, месяца) отражает ограниченную динамику цены актива. В дальнейшем с течением времени возможные отклонения могут накапливаться в любом направлении. В отношении однократных выплат стандартное отклонение связано с разовым событием.
Поэтому для большинства однократных денежных потоков указанная на рис. 1 схема неприменима, так как стандартное отклонение для них рассчитывается не на периодической основе, а для конкретного момента времени (обычно такой денежный поток является производным от периодических денежных потоков, как, например, кредитный риск является производным от ожидаемой величины и риска операционного денежного потока компании и величины долговых обязательств) или вообще безотносительно времени, что может быть выражено схемой, показанной на рис. 2 и 3.
С позиций концепции убывающей предельной полезности денежной единицы, лежащей в основе инвестора, избегающего риска (risk-averse investor), компенсация за риск требуется даже в том случае, когда рисковый денежный поток «разыгрывается» здесь и сейчас. Весь вопрос в том, как оценить такую требуемую компенсацию.
При определении премии за риск единичных отрицательных денежных потоков, отстоящих на несколько периодов от момента, на который производится оценка, важно принимать во внимание то обстоятельство, что стандартное отклонение, используемое для оценки их волатильности, отличается от стандартного отклонения, используемого для определения риска нелевериджированного денежного потока собственникам, периодом(1). Последнее стандартное отклонение рассчитывается для периода расчета (года, квартала, месяца и т. д. в зависимости от спецификации модели оценки). Это значит, что при применении премии за риск риск (ожидаемое стандартное отклонение) будет сильно возрастать по мере продвижения в будущее. А стандартное отклонение единичных денежных потоков рассчитывается специально для этих денежных потоков независимо от количества периодов, отделяющих их от момента оценки, и будет неправильным применять к ним премию за риск, которая будет увеличивать их риск во времени. При оценке кредитного риска с использованием вероятностного моделирования или оценке риска издержек финансовой неустойчивости, который является производным от кредитного риска, как раз приходится столкнуться с таким случаем. Для того чтобы адекватно продисконтировать отрицательный денежный поток с использованием отрицательной премии за риск, требуется либо аннуилизировать(2) (привести к годовому периоду) рассчитанное стандартное отклонение ожидаемых издержек финансовой неустойчивости и рассчитать таким образом премию за риск, которая теперь становится функцией от времени соответствующих денежных оттоков:
(1) Волатильность обычно связывают со стандартным отклонением непрерывно компаундируемых доходностей финансовых инструментов в рамках определенного временного горизонта. Она используется для количественного выражения риска инструмента в течение периода времени. Обычно волатильность выражают в годовом измерении, и она может быть или абсолютной величиной или процентом от среднего значения… Для финансовых инструментов, цены которых следуют гауссову случайному процессу или процессу Винера, волатильность увеличивается вместе со временем. Теоретически это происходит потому, что увеличивается вероятность, что цена инструмента сможет уйти тем дальше от своего первоначального значения, чем больше временной интервал, в течение которого происходят изменения. Однако волатильность увеличивается не линейно, а пропорционально квадратному корню времени, поскольку некоторые ожидаемые изменения отменяют друг друга, так что наиболее вероятного отклонение с удвоением времени будет меньше двух стандартных отклонений (См.: Wikipedia. The free encyclopedia. URL: en.wikipedia.org/wiki/Volatility_(finance)).
(2) Аннуилизирование в данном случае носит условный характер, поскольку денежный поток
носит единовременный характер, а не повторяется из года в год.
где – аннуилизированное стандартное отклонение; – стандартное отклонение единовременного отрицательного денежного потока; T – количество лет с момента оценки до момента, когда имеет место отрицательный денежный поток, либо продисконтировать отрицательный денежный поток за один период с полной премией за риск, рассчитанной на основе полного стандартного отклонения, а затем использовать безрисковую ставку дисконтирования.
Аннуилизирование кажется правильным вариантом только при первом рассмотрении вопроса сквозь призму RADR-дисконтирования и часто рекомендуется в учебной и деловой литературе, но оно не отражает действительного порядка возрастания риска в рамках RADR-моделирования и потому будет явно ошибочным решением, что легко обнаружить простым сравнением результатов приведенных выше методов. Очевидно, что для однократных денежных потоков риск никак не зависит от времени их осуществления, и потому только второй подход дает правильные результаты.
Здесь важно отметить, что корректность применения RADR определяется порядком расчета стандартного отклонения для ожидаемых будущих денежных потоков. Например, если расчет производится по одному из методов прогнозирования временных рядов, то степень неопределенности возрастает со временем, а стандартное отклонение рассчитывается лишь на один год вперед. Поэтому в дальнейшем допустимо возводить премию за риск (отражающую это стандартное отклонение) в составе скобки (1 + RADR) в степень соответствующего года.
Однако если стандартное отклонение рассчитывается иным способом (например, на основе вероятностного имитационного моделирования) для однократных денежных потоков, то оно не зависит от времени и такой подход приведет к искаженным результатам.
Это означает, что привычный алгоритм RADR-дисконтирования при анализе однократных денежных потоков наталкивается на непреодолимые препятствия. Проблемы, возникающие при оценке однократных денежных потоков, удобно рассмотреть на примере первоначального инвестиционного рискового денежного оттока.
Некоторые исследователи усомнились в адекватности скорректированной на риск ставки дисконтирования на том основании, что в ней имплицитно предполагается, что промежуточные денежные потоки реинвестируются по этой самой ставке, что, по их мнению, приводит к завышению стоимости инвестиционного проекта. Например, МакКлюр и Гирма отмечают: «Когда ставка возможного реинвестирования фирмы отличается от ее ставки финансирования, метод скорректированной на риск ставки дисконтирования (RADR) при вычислении чистой текущей стоимости (NPV) приводит к тому же типу некорректных результатов, который требует применения новой методологии расчета скорректированной внутренней нормы доходности (MIRR)… Некорректно предполагать, что ставка реинвестирования денежных притоков проекта – скорректированная на риск ставка дисконтирования, а не ставка возможного реинвестирования» (МакКлюр и Гирма, 2004). Данное обвинение не более чем заблуждение, поскольку при дисконтировании всегда делается допущение, что промежуточные денежные потоки переходят к инвесторам и сохраняют свою стоимость, а не реинвестируются. При необходимости учесть реинвестирование денежных потоков может применяться метод скорректированной чистой текущей стоимости MNPV, в котором отдельно задается ставка реинвестирования промежуточных денежных потоков, но это уже самостоятельная проблема, которую не нужно путать с оценкой стоимости денежных потоков. Реинвестирование обычно стоит оценивать отдельно, чтобы не смешивать в одной процедуре различные аспекты инвестиционного анализа.
При оценке однократных денежных потоков с однократным, а не периодическим стандартным отклонением, независимо от того, на сколько периодов они отстоят от момента оценки, целесообразно воспользоваться методом безрисковых эквивалентов.
Данный метод описывается в литературе (Хильер, 1963; Херц, 1964; Робичек и Майерс, 1966; Бар-Йозеф и Месник, 1977; Гален, 1996; Бейкер и Пауэлл, 2005) наряду с методом дисконтирования денежных потоков по рисковой ставке RADR, но он не получил широкого практического признания из-за отсутствия практической методики приведения рисковых денежных потоков к безрисковым эквивалентам. Метод RADR, напротив, приобрел популярность благодаря CAPM, которая предоставила достаточно простой способ расчета премии за риск. Также он может использоваться и на основе модели имплицитной премии за риск. Возможно, появятся другие, более совершенные модели, но метод RADR наверняка сохранит свою актуальность. Тем не менее метод безрисковых эквивалентов намного гибче и позволяет решить проблемы, которые возникают при использовании RADR.
Ниже предлагается методика оценки коэффициента безрисковых эквивалентов для любых рисковых денежных потоков, для которых известно стандартное отклонение (требование, необходимое также и в рамках метода RADR).
Метод безрисковых эквивалентов позволяет раздельно учесть временную стоимость денег и риск денежных потоков. Бейкер и Пауэлл (2005) отмечают, что объединение ставки дисконтирования и премии за риск в одно целое приводит к компаундированию премии за риск во времени. Чем дальше в будущее, тем больше оказывается вмененный риск, присваиваемый ожидаемым денежным потокам.
В методе безрисковых эквивалентов компаундирование осуществляется в отношении безрисковых эквивалентов денежных потоков, то есть проценты начисляются только на безрисковую ставку процента, а премия за риск используется лишь для того, чтобы компенсировать инвестору возможный разброс результата от ожидаемой величины.
Критерий принятия решений при использовании IRR в RADR-дисконтировании состоит в том, чтобы принимать проекты, IRR которых больше или равна RADR. При использовании метода CE можно оценить IRR, эквивалентную безрисковой (IRRCE), и принимаются лишь те проекты, IRRCE которых больше или равна безрисковой ставке процента.
Приведенная стоимость по методу безрисковых эквивалентов находится с использованием коэффициента безрисковых эквивалентов по следующей формуле (дисконтирование производится по безрисковой ставке):
где – ожидаемый денежный поток на момент времени t; – коэффициент безрисковой эквивалентности для соответствующего денежного потока в момент времени t.
Коэффициент безрисковой эквивалентности (CEQF) рискового денежного потока определяется как отношение безрискового эквивалента денежного потока к ожидаемому денежному потоку по формуле:
где – безрисковый эквивалент рискового денежного потока; – ожидаемый денежный поток.
Стоит заметить, что умножение рисковых денежных потоков на CEQF производит безрисковый эквивалент денежного потока для соответствующего момента времени. При этом риск может быть скорректирован для каждого периода времени на основе имеющихся данных о поведении ожидаемых денежных потоков. Безрисковый эквивалент денежного потока представляет также самостоятельную аналитическую ценность, позволяя принимать решения в условиях неопределенности и риска. Метод CE также достаточно прост и интуитивно понятен, и его реализация не намного сложнее метода RADR. Объяснения, которые обычно приводятся в литературе относительно его низкой востребованности на практике, довольно невразумительны.
В литературе при освещении метода безрисковых эквивалентов (CE) обычно рекомендуют применять непосредственно функцию предельной полезности.
Это верно с теоретической точки зрения, но непрактично из-за трудности установления функции предельной полезности, которая, к тому же, различается от инвестора к инвестору. В этом могут помочь разве что социологические опросы или статистические наблюдения за поведением людей, когда им приходится делать выбор в условиях неопределенности и риска. Однако нужно иметь в виду необходимость учета соображений портфельной теории и возможностей хеджирования денежных потоков, которые также могут быть учтены при использовании метода безрисковых эквивалентов. Коэффициент безрисковых эквивалентов рисковых денежных потоков (CEQF) может быть найден и на основе однопериодной рыночной премии за риск с учетом их ковариации. Несмотря на то, что наблюдаемая рыночная премия за риск оценивается для денежного потока, отстоящего на один период вперед от момента оценки, его можно связать со стандартным отклонением следующим образом:
где RP – премия за риск оцениваемого денежного потока.
Тогда CEQF можно выразить следующим образом:
В свою очередь прем ия за риск оценивается по формуле:
где sign(CF) – знак оцениваемого денежного потока; ERP – рыночная премия за риск; – стандартное отклонение доходности оцениваемого денежного потока; – стандартное отклонение рынка; – корреляция оцениваемого денежного потока с денежным потоком рынка.
Подставляя (6) в (5), получаем:
Таким образом, вопрос сводится лишь к тому, чтобы выявить стандартное отклонение и корреляцию оцениваемого денежного потока с рынком.
В дальнейшем можно использовать метод безрисковых эквивалентов примерно таким же образом, как и RADR. Различия все же имеются, и они будут показаны ниже.
Соответствие между безрисковыми эквивалентами и премией за риск в рамках модели CAPM(certainty-equivalent form of the capital asset pricing model) обычно выражают следующим образом:
Если ковариация денежного потока с рыночной доходностью равна нулю, то денежный поток считается безрисковым (отсутствует систематический риск) и дисконтируется по безрисковой ставке процента. Если же актив рискованный, то для получения безрискового эквивалента из ожидаемого денежного потока вычитается цена риска, умноженная на ковариацию денежных потоков и рыночной доходности. Для практических целей удобнее воспользоваться иным представлением:
Формула (10) совместима с любым спос обом расчета однопериодной премии за риск. При этом модель не обязательно должна соответствовать CAPM, она будет соответствовать любой модели, в которой риск денежных потоков соотносится с риском денежных потоков рынка или просто наблюдаемой премии за риск, в которой возможно установить цену риска (λ).
При использовании аннуилизированного стандартного отклонения для последующих периодов риск должен возрастать. Поскольку риск выражается стандартным отклонением, то здесь требуется использовать явную функцию зависимости стандартного отклонения от времени. В RADR такая функция задается в качестве имплицитного допущения, и она будет раскрыта ниже. Если же риск не изменяется во времени, то CEQF остается неизменным для всех временных периодов.
Вмененное стандартное отклонение рискованного денежного потока в модели RADR
Поскольку стандартное отклонение для однократных денежных потоков не зависит от длительности временного интервала, в данном случае его сопоставление с годовым стандартным отклонением рыночной доходности уместно и не приводит к искажению. Нужно учесть, что при расчете премии за риск стандартное отклонение рыночной доходности применяется к величине ожидаемого в конце периода денежного потока, а в дальнейшем эта величина дисконтируется с использованием скорректированной на риск ставки процента, наблюдаемой на рынке. Применяя процедуру приведения этой ставки в соответствие с безрисковым эквивалентом, мы вполне можем оценить коэффициент безрисковой эквивалентности (CEQF), соблюдая соотношение между ковариацией оцениваемого денежного потока и доходностью рынка. Как уже отмечалось, в методе безрисковых эквивалентов риск и временная стоимость денег оцениваются раздельно.
Полученная величина безрискового эквивалента исследуемого денежного потока дисконтируется по безрисковой ставке процента. В дальнейшем мы можем применить любую функцию временной зависимости стандартного отклонения денежного потока. Например, можно воспользоваться допущением о том, что риск со временем будет следовать стохастическому процессу Винера, при котором дисперсия возрастает пропорционально времени, или использовать предположение о том, что риск не возрастает со временем в зависимости от имеющихся свидетельств поведения риска. В любом случае приведенный подход обладает намного большей гибкостью, нежели метод оценивания на основе скорректированной на риск ставки дисконтирования RADR.
Важно заметить, что любой повторяющийся рисковый денежный поток с любой временной структурой риска может быть представлен последовательностью однократных денежных потоков (выплат), характеризующихся определенным риском (стандартным отклонением) и на момент их осуществления. На основе этого свойства можно сформулировать теорему дисконтирования однократных денежных выплат.
Теорема 1. Для ожидаемой выплаты, имеющей место в момент времени t, текущая стоимость которой находится с использованием набора премий за риск возможно определить однократное стандартное отклонение которое выражает вмененный общий риск этой выплаты, включающий как натуральную, так и вмененную неопределенность выплаты на исследуемый момент времени. Обратное несправедливо. Однократному стандартному отклонению денежной выплаты соответствует множество наборов премий за риск которые выдают различные возможные временные структуры риска.
Доказательство теоремы 1. Очевидно, накопленный во времени риск денежного потока можно описать стандартным отклонением от ожидаемой величины этого денежного потока. Тогда, пользуясь правилом эквивалентности метода безрисковых эквивалентов и скорректированной на риск ставки процента и известной зависимостью премии за риск от величины риска в рамках однопериодной модели CAPM (допустимо также использовать любую иную модель, в которой премия за риск математически выводится из стандартного отклонения доходности актива или денежного потока), можно найти вмененную премию за риск для однократного денежного потока, в котором риск концентрируется на соответствующий будущий момент времени. Затем из этой премии за риск на основе однопериодной оценки премии за риск, если прочие факторы известны или постоянны, определяется стандартное отклонение этого однократного денежного потока. Формулы представлены ниже.
Временную функцию риска, обеспечивающую соответствие между методами CE и RADR, несложно вывести аналитическим путем. Для ожидаемого денежного потока в периоде t коэффициент безрискового эквивалента, соответствующий методу RADR, может быть найден по формуле:
Но коэффициент безриского эквивалента также может быть выражен в рамках однопериодной модели с использованием беты на основе стандартного отклонения, соответствующего этому периоду:
где – бета доходности денежного потока для года t.
Но в этом случае
откуда
Вмененное стандартное отклонение доходности денежного потока будет рассчитываться как
Теперь выразим
и
Подставив эти в ыражения в формулу (14) и решив ее относительно поЛучим
Теорема 1 доказана.
Формула (16) непрактична из-за своей громоздкости, поэтому обычно удобнее воспользоваться расчетом в несколько этапов, в рамках которого сначала определяется вмененное стандартное отклонение доходности денежного потока по формуле (15), а потом на его основе вычисляется вмененное стандартное отклонение самого денежного потока по формуле
Следствием из этой теоремы является возможность решить обратную задачу: зная однократное стандартное отклонение для денежной выплаты на момент времени t, выражающее общий риск денежного потока на этот момент времени, необходимо рассчитать текущую стоимость такой денежной выплаты. Это легко сделать исходя из теоремы 1, используя метод безрисковых эквивалентов.
Метод скорректированной на риск ставки процента также позволяет получить соответствующее значение, но, как будет показано ниже, для этого потребуется знать функцию разрешения неопределенности во времени. Знание этой функции необходимо для того, чтобы спрогнозировать стоимость денежного потока на начало каждого периода или на любой момент времени в рамках горизонта планирования денежных потоков.
Принципиальный момент правильного дисконтирования рисковых денежных потоков – учет временной структуры разрешения неопределенности
Ряд исследователей обратил внимание на проблему временной структуры риска денежных потоков и разрешения неопределенности во времени. Робичек и Майерс (1966) рассматривали порядок разрешения неопределенности для фирмы во времени в условиях равновесных рынков и сделали вывод о том, что данный вопрос потенциально значим для инвесторов, формирующих многопериодный портфель ценных бумаг с различными схемами разрешения неопределенности. Уоррен Хаусман (1969) предложил методологию оценки неопределенности, связанной с пересмотром прогнозов единичной величины по прошествии времени. Ван Хорн (1969) предложил метод анализа неопределенности во времени для нового продукта. Вайнгартнер (1969) обратил внимание на проблему разрешения неопределенности при принятии решений по капитальному бюджетированию и отметил достоинство показателя срока окупаемости для этой цели.
Бирман и Хаусман (1972) довольно подробно исследовали проблему разрешения неопределенности во времени как для отдельных рисковых инвестиций, так и для набора рисковых инвестиций. По их мнению, концепция разрешения неопределенности – важная характеристика инвестиционной альтернативы. Ее требуется включать в рассмотрение при оценке как единичных рисковых инвестиций, так и портфелей рисковых инвестиций. При этом они рассматривали разрешение неопределенности через призму вероятностных деревьев. Их вывод – при рассмотрении двух инвестиций в реальные активы с идентичными ожидаемыми дисконтированными доходностями, идентичными вариациями и идентичными высшими моментами, разумно предположить, что схема разрешения неопределенности в течение срока жизни каждой инвестиции будет влиять на выбор этих инвестиций. Чем раньше разрешается риск, тем предпочтительнее инвестиция при прочих равных условиях. Однако при этом исследуется непосредственно проблема разрешения неопределенности и не затрагиваются методы ее включения в техники дисконтирования денежных потоков.
Вестерфилд и Персиваль (1976) обращают внимание на то, что разные методы дисконтирования делают различные имплицитные допущения, часто необоснованные, относительно разрешения неопределенности. В дальнейшем исследования разрешения неопределенности практически сошли на нет и незаслуженно не получили признания и применения на практике.
Некоторые исследователи подвергали сомнению схему возрастания риска во времени, имплицитно заложенную в методе дисконтирования с использованием скорректированной на риск ставки процента. Юджин Фама (1977) доказал, что метод RADR полностью согласуется с простой многопериодной CAPM-моделью.
Однако его аргументы заслуживают более тщательного рассмотрения. Наиболее важный момент в его подходе к исследованию, который имеет прямое отношение к анализу разрешения неопределенности, – рекурсивный алгоритм применения CAPM к многопериодным денежным потокам. Фама также формулирует условия применения постоянной RADR, основанные на допущениях об изменении ожиданий инвесторов во времени. Другими словами, при обосновании метода RADR Фама фактически разделяет риск денежных потоков и риск пересмотра оценок со временем, но этим он и ограничивается, не заостряя внимание на этой проблеме.
Вместе с тем функции возрастания риска во времени и функции разрешения неопределенности обычно могут быть эксплицитно включены в анализ рисковых денежных потоков. Важно понимать, что они напрямую влияют на стоимость удаленных на несколько периодов денежных потоков. Функции эти могут различаться, и потому сразу нужно уточнить понятия возрастания неопределенности во времени и разрешения неопределенности во времени.
Риск может возрастать во времени (вернее, в зависимости от удаленности во времени выплаты от момента оценки) в силу различных причин, чаще всего из-за убывания достоверности прогноза на больший период времени.
Например, если стандартное отклонение оценивается для годового интервала, то в течение трех лет при непрерывном движении переменной она может отклониться на большую величину от ожидаемого значения. В частности, уровень инфляции в течение года легче предсказать, чем инфляцию в течение трех лет. Риск также может совершенно не зависеть от времени, как например, неопределенность погодных условий и величины урожая растениеводческой продукции, если абстрагироваться от технологических изменений в сельском хозяйстве, неопределенности страховых событий в страховании.
Пожалуй, самый убедительный пример неопределенности, не зависящий от времени, – это случай государственного выигрышного займа (сам по себе государственный долг считается безрисковым, а стоимость облигации будет отражать ожидаемый доход по лотерее и соответствующий риск, а временной риск здесь полностью отсутствует, если не считать риск изменения процентной ставки).
Таким образом, риск обычно или не зависит от времени (time-independent risk), или возрастает во времени (time-dependent risk), но схема этого роста может быть различной. Трудно представить, чтобы риск уменьшался во времени, но для некоторых финансовых инструментов это также возможно. К примеру, если инвестор ставит на наступление дефолта некоторой компании, то его шансы повышаются, если в договоре устанавливается больший срок, то есть риск его позиции уменьшается по мере удаленности во времени до момента истечения договора, но здесь имеет значения неопределенность самого момента дефолта. Но в принципе схемы со снижающимся риском также возможны, поскольку нужно учитывать не только источники неопределенности, но еще и позиции инвесторов.
Разрешение неопределенности во времени связано с поступлением новой информации, а также с тем, что обычно со временем становятся известными реализованные значения (исполняется один из сценариев развития ситуации) и соответственно сокращается набор возможных сценариев развитии ситуации.
Но разрешение неопределенности во времени не обязательно совпадает с функцией возрастания неопределенности во времени (хотя их совпадение для большинства случаев может быть весьма разумным допущением). В частности, вполне реалистичны ситуации, при которых большая часть будущей неопределенности разрешается в первые периоды реализации инвестиционного проекта, которая относится в том числе и к последующим периодам, за счет прояснения наиболее рискованных характеристик проекта и сбора и изучения дополнительной информации, то есть уточнения ранее сделанных прогнозов.
Проблема заключается главным образом в том, что временную структуру неопределенности приходится оценивать на начало периода оценки, и в последующих периодах стоимость денежного потока может измениться с прояснением неопределенности, то есть по мере уточнения информации о будущем денежном потоке или прогнозном фоне. Допустим, неопределенность последовательно разрешается от одного периода к другому. На начало каждого периода неизвестен исход разрешения неопределенности в конце периода, поэтому разумно использовать ожидаемые значения на начало периода оценки и предположение о том, что временная неопределенность полностью снимается по истечении каждого периода в соответствии с заранее заданной функцией разрешения неопределенности. В большинстве случаев удобно воспользоваться допущением о том, что функция разрешения неопределенности совпадает с временной неопределенностью, связанной с удаленностью денежной выплаты во времени, обычно описываемой свободой движения переменной в указанный интервал времени с учетом взаимопогашения отдельных флуктуаций.
Любой метод дисконтирования удаленных на несколько периодов рисковых денежных потоков во многом зависит от временной структуры разрешения неопределенности от периода к периоду (pattern of uncertainty resolution). И метод RADR, как будет показано ниже, оказывается применим только для строго определенных случаев.
Лемма 1. Временную структуру риска денежного потока следует оценивать по рекурсивному алгоритму, отражающему степень разрешения временной неопределенности от периода к периоду. На момент выплаты денежного потока может сохраняться также его натуральная неопределенность, которая не зависит от времени, но она должна учитываться обособленно от временной неопределенности.
Доказательство леммы. Для доказательства леммы 1 рассмотрим несколько вариантов временной структуры неопределенности денежной выплаты в периоде t.
В период 0 неопределенность денежной выплаты в момент t описывается стандартным отклонением Допустим, ожидаемая неопределенность в момент времени 0 описывается как В момент времени 1 неопределенность будет равна неопределенности в момент времени t за вычетом разрешившейся неопределенности за прошедший интервал времени, связанной с возможным движением денежного потока в течение фиксированного времени:
Тогда для любого момента времени i, ограниченного интервалом [0; t], текущая неопределенность может быть выражена следующим образом:
Возможен также вариант, при котором неопределенность, связанная с удаленностью во времени, и разрешение этой неопределенности во времени будут описывать разными функциями:
При этом следует заметить, что всегда должно выполняться равенство В противном случае в момент выплаты денежного потока временная неопределенность не будет разрешена, что противоречит исходным условиям леммы 1.
Лемма доказана.
Выбор функции разрешения неопределенности зависит от источников неопределенности. К примеру, при оценке стоимости нефтяного месторождения натуральная неопределенность объемов добычи не зависит от времени и разрешается только в момент его разработки. Временная неопределенность возможна в отношении будущей цены на нефть, ставки процента и других параметров, влияющих на стоимость, но никак не в отношении объемов добычи, если только в будущем не будут изобретены более совершенные методы оценки запасов.
Такого рода неопределенность, которая в отношении единичной выплаты разрешается только в момент осуществления этой выплаты, можно охарактеризовать как неопределенность типа лотереи.
В отношении долга неопределенность уточняется во времени по мере выяснения соотношения между текущим операционным денежным потоком компании и общим уровнем обязательств компании и субординированным положением конкретного долгового обязательства в структуре долга.
Волатильность переменной обычно не изменяется во времени линейно, как это было бы при допущении детерминистического роста, поскольку по мере движения во времени отдельные флуктуации взаимно отменяют друг друга. Обычно перевод волатильности в другой интервал времени описывается функцией, включающей альфа-коэффициент устойчивости Леви:
Функция эта не является детерминистической, а представляет собой лишь аппроксимацию ожидаемого результата процесса случайных блужданий. Линейное возрастание риска во времени при постоянном периодическом стандартном отклонении возможно лишь в качестве предельного случая, когда каждый раз сбывается самый худший из возможных сценариев на границе стандартного отклонения.
Рассмотрим несколько вариантов разрешения неопределенности во времени.
Теорема 2. При дисконтировании денежной выплаты, отстоящей на t периодов от момента оценки, неопределенность которой разрешается на момент осуществления выплат, рисковая ставка дисконтирования с премией за риск денежных потоков применяется только в последнем периоде в соответствии с ожидаемой премией за риск, а в остальных периодах требуется использовать безрисковую ставку процента. При этом действует допущение о том, что все остальные переменные (ставка дисконтирования, ожидания) заранее известны.
Доказательство теоремы 2. Представим простую ситуацию, в которой неопределенность денежного потока CF в момент t полностью сосредоточивается в этот момент времени: известно только, что в момент t разыгрывается лотерея, в которой инвестор вытаскивает из корзины шарик, раскрыв который он сможет получить указанную во вложенной записке денежную сумму; количество шариков стремится к бесконечности, и денежные суммы в них нормально распределены с ожиданием 1000 д.е. и стандартным отклонением 20%. Как будет определяться стоимость на момент времени t–1? Безрисковая ставка процента составляет 7%. Премия за риск рынка в период [t –1; t] равна 15%, стандартное отклонение рыночной доходности – 30%. Корреляция с рынком в данном случае неизвестна, хеджирование невозможно, и мы будем считать, что премия за риск денежного потока CF будет равна 10% (15 × 20 / 30). Тогда стоимость CFв момент t–1 составит:
Но какой должна быть стоимость CF в момент времени t–2? Поскольку неопределенность уже учтена в теперь оценивается не сам денежный поток CF, а стоимость Но, поскольку эта стоимость достоверно известна, нет никакого риска относительно ее изменения (условия лотереи остаются все теми же), и инвестор гарантированно придет к этой стои мости, при условии неизменности процентных ставок. Следовательно, теперь он должен дисконтировать ее по безрисковой процентной ставке. Для него нет рисков в периоде [t – 2; t – 1], поскольку он знает, какой будет стоимость актива в конце периода, и сможет продать его на рынке по справедливой цене.
А если нет рисков, то нет и оснований требовать повышенную компенсацию сверх безрисковой ставки процента. Тогда стоимость CF в момент времени t–2 составит:
Аналогичным образом стоимость CF будет определяться в момент времени t–3, t–4 и т. д. Во всех этих периодах будет дисконтироваться не денежный поток, а его стоимость, достоверно известная на конец периода. Применение RADR в каждом периоде привело бы к существенному преувеличению рисков и занижению стоимости актива.
Теорема доказана.
Но почему тогда Фама (1977) пришел к другому выводу? Просто он рассматривал совершенно иную временную структуру разрешения неопределенности, основывая свою аргументацию на базовых предпосылках однопериодной CAPM-модели.
В CAPM рассматривается не единичная денежная выплата, а стоимость актива, то есть потока будущих выплат. При этом оценивается риск не отдельной выплаты, а преимущественно риск изменения стоимости в течение периода (по крайней мере, не делается различия между риском выплаты дивидендов и ожидаемого прироста стоимости). Поскольку стандартное отклонение доходности (изменения стоимости) в каждом периоде остается стабильным, то при оценке стоимости актива в период t–1 он дисконтируется по RADR, полученная оценка стоимости актива также считается рисковой, и в период t–2 она снова будет дисконтироваться по RADR, так как в периоде [t – 2; t – 1] риск изменения стоимости остается таким же, как и в периоде [t – 1; t].
Поэтому при применении RADR к денежной выплате, отстоящей на t периодов от момента оценки, создается впечатление, что риск экспоненциально возрастает. Но в том-то и дело, что RADR не должна применяться к единичным выплатам, она относится к ожидаемой стоимости на конец периода. Если эта стоимость достоверно известна, как в первом примере, то для дисконтирования этой стоимости должна применяться безрисковая ставка процента (риск будет учтен при определении стоимости денежной выплаты на начало последнего периода). Если же неопределенность снимается в каждом из периодов, то стоимость на конец каждого периода будет до известной степени неопределенной и для приведения ее к началу периода потребуется использовать ставку дисконтирования, которая будет отражать степень неопределенности этой стоимости. Но нужно учесть, что стандартное отклонение стоимости содержит намного большую степень неопределенности денежного потока, который составляет эту стоимость, чем то же самое стандартное отклонение денежного потока. Поэтому и премия за риск, применяемая последовательно от одного периода к другому, приводит к непомерному возрастанию риска денежного потока.
Фама использовал рекурсивный алгоритм для обоснования соответствия RADR-дисконтирования многопериодной CAPM-модели. Он предположил, что корректировка на риск отражает неопределенность относительно переоценки во времени ожидаемых денежных потоков. Тогда корректировка за риск – это функция ковариации переоценок ожидаемых денежных потоков с рыночной доходностью. Для практических целей Фама выразил ковариацию переоценок ожидаемых денежных потоков с рыночной доходностью как ковариацию доходности акций компании с рыночной доходностью. Стоит обратить внимание, что Фама рассматривает не риск неосуществления ожидаемых денежных потоков, а риск их переоценок в каждом из периодов. Но в этом случае необходимо прибегнуть к совершенно иной методологии определения неопределенности, нежели стандартное отклонение денежных потоков, оцениваемое на основе вероятностного анализа.
Достаточно странно полагать, что переоценка ожидаемых денежных потоков сопряжена с той же неопределенностью, что и неопределенность относительно конечного исхода рискового денежного потока. При применении RADR риск оказывается непомерно высоким, и, кроме того, риск переоценки никогда не рассматривался в литературе как таковой, не разбирались его причины, и не предлагалось методики его оценки. В приложениях и исследованиях аналитики использовали просто наблюдаемую рыночную доходность в качестве приблизительной переменной (proxy). Но данный вопрос просто нельзя оставлять без внимания в силу его принципиальной значимости для состоятельности подходов к дисконтированию денежных потоков, которые часто применяются без разбора ко всем типам денежных потоков с совершенно разными профилями рисков.
Неопределенность стоимости может зависеть от множества факторов помимо неопределенности самого денежного потока – это неопределенность будущей безрисковой ставки процента, неопределенность будущих предпочтений относительно риска (risk averse preferences), неопределенность относительно будущих ожиданий инвесторов. В отношении капитальных активов неопределенность будущей стоимости актива зависит также от возможных реинвестиций или дивестиций, встроенных реальных опционов и т. п. Здесь стоит подчеркнуть различие между неопределенностью ожидаемых денежных потоков при стабильности ожиданий инвесторов относительно всех переменных, используемых при оценке стоимости, и неопределенностью будущих ожиданий, то есть допущением о возможном пересмотре переменных, используемых при оценке стоимости. Это совершенно разные источники неопределенности, которые по-разному должны учитываться при нахождении приведенной стоимости. В CAPM не проводится различия между волатильностью денежных потоков и волатильностью ожиданий и предпочтений относительно риска, которые в значительно большей степени влияют на совокупную акционерную доходность. Если допустить, что CAPM оценивает оба типа неопределенности, то следует признать, что в этом случае стандартное отклонение рыночных доходностей или отдельных акций выражает изменения и в самих денежных потоках и в стоимости. Но в этом случае основанная на CAPM модели RADR не будет выдавать правильные оценки для отстоящих на несколько периодов денежных выплат при допущении неизменных ожиданий инвесторов на момент оценки, которые имплицитно предполагаются в модели DCF. По крайней мере, на сегодняшний день в литературе указывается непосредственно на риск денежных потоков, а не на риск пересмотра стоимостных оценок в последующих периодах. Но этот момент крайне важен для понимания техники дисконтирования рисковых денежных потоков.
Пока что мы рассмотрели два крайних случая, в одном из которых неопределенность приходится на конец периода, а в другом неопределенность повторяется каждый раз в отношении полной величины стоимости на конец периода. Нужно только заметить, что изменения в самом денежном потоке не должны учитываться в изменении стоимости, поскольку они учтены в стоимости последнего периода.
Теперь попробуем оценить стоимость денежного потока, стоимость которого изменяется по процессу Винера или иному явно заданному случайному процессу, выраженному как функция стандартного отклонения от времени.
Теорема 3. При изменении риска от периода к периоду (time-remote risk pattern) применяемая к ожидаемому денежному потоку премия за риск во всех периодах будет отличаться от нуля. При дисконтировании денежной выплаты, отстоящей на t периодов от момента оценки, неопределенность которой описывается во времени некоторым случайным процессом, премия за риск денежного потока определяется отдельно для каждого периода в соответствии с расчетным стандартным отклонением ожидаемой денежной выплаты на начало периода.
При использовании скорректированной на риск ставки процента RADR в каждом периоде оценка денежного потока на начало каждого периода, за исключением последнего, будет охватывать не только риск неполучения ожидаемого денежного потока, но и риск изменения стоимости этого денежного потока в конце каждого периода вследствие изменения в ожиданиях и предпочтениях инвесторов (изменения премии за риск, изменения стандартного отклонения денежного потока, изменения инвестиционных возможностей и т. п.), а также риск изменения безрисковой ставки процента.
Доказательство теоремы 3. Модель CE с возрастающей функцией неопределенности денежного потока также можно преобразовать в RADR-модель, учитывающую временную структуру разрешения неопределенности. Назовем ее для краткости RADRURP (RADR with Uncertainty Resolution Pattern).
Стоит заметить, что при использовании RADR-модели, учитывающей временную структуру разрешения неопределенности, премии за риск будут отражать степень разрешения неопределенности в каждом периоде в соответствии с функцией возрастания неопределенности от периода к периоду. Для упрощения доказательств рассмотрим процесс Винера, который часто применяется в практических приложениях и довольно популярен в эконометрическом моделировании.
Выводы модели будут распространяться на любую иную временную функцию неопределенности, например, логарифмическую или даже экспоненциальную.
Система доказательств при этом не меняется, поскольку эта функция будет заложена в расчет безрисковых эквивалентов.
Стоимость денежного потока в начале периода t–1 находится по рисковой ставке процента.
Стоимость денежного потока в начале периода t–2 можно выразить как с помощью безрискового эквивалента, дисконтированного по безрисковой ставке процента, так и по ожидаемому денежному потоку, дисконтируемому с использованием отдельных премий за риск для каждого из периодов:
Отсюда премию за риск для периода t–2 можно выразить как
Обобщенная модель для любого периода принимает вид:
Отсюда премию за риск для периода t–n можно выразить как
При этом стоит отметить, что будет рассчитываться для каждого периода на основе соответствующей премии за риск исходя из ожидаемого стандартного отклонения на момент времени t–n и поэтому обозначается как
Заключение
Техника дисконтирования денежных потоков разрабатывалась в начале XX в. и сегодня воспринимается как нечто само собой разумеющееся. Но теоретические обоснования уже порядком позабылись, и дисконтирование по RADR стали использовать чисто механически к рисковым денежным потокам точно так же, как и к безрисковым. Вместе с тем данный вопрос стоит прояснения, поскольку он напрямую оказывает влияние на оценки стоимости компании, ценных бумаг и т. п. Вероятно, такой подход был навеян еще и способом вычисления внутренней нормы доходности IRR, хотя это самостоятельная проблема, которая, между прочим, также активно обсуждалась в литературе, и многие исследователи критиковали применение IRR в качестве критерия принятия решений, указывая на его множественные изъяны.
Дисконтирование по RADR интуитивно может быть оправдано тем, что если инвесторы требуют доходность, компенсирующую их риск в однопериодной модели, очевидно, что они будут рассчитывать на получение соответствующей доходности в следующем периоде на полученные проценты, то есть в RADR применяется рутинная техника капитализирования процентов. Но при этом как-то забывается, что мы теперь имеем дело не с безрисковыми денежными потоками, проценты по которым действительно капитализируются, а с рисковыми денежными потоками, реализация которых будет отличаться от ожидаемых величин, и инвестор уже не может надеяться на систематическую капитализацию процентов. Более того, по мере того, как ожидания оправдываются, он должен снижать свои требования, по крайней мере, теперь уже к исторической доходности, хотя и будет переносить ставку дисконтирования с премией за риск на будущие периоды.
В пользу RADR также говорит и то, что банки обычно устанавливают фиксированную премию к безрисковой ставке процента, чтобы компенсировать риск невозврата кредитов и риск невыплаты процентных платежей в полном объеме, предусмотренные контрактами. При этом отдельные заемщики часто выплачивают долг полностью, но банк в таких случаях распределяет риски многих заемщиков на каждого из них. Хотя в таких случаях премия за риск компаундируется, необходимо учесть также и то, что речь здесь обычно идет об однократной крупной выплате основной суммы долга в конце периода или равномерных выплат в течение периода заимствования, и стандартное отклонение возможного денежного потока здесь вычисляется не для годового интервала, а совершенно иначе. Кроме того, практика не может служить оправданием неверных расчетов. Практика всегда исходит из наличного уровня знаний о предмете и по мере уточнения этих знаний должна изменяться вслед за ними.
Хотя я не исключаю возможности применения RADR для определенных случаев, в частности для оценки типичных рыночных активов, возникает множество вопросов относительно сложившейся практики ее безоговорочного применения в оценке стоимости вообще.
Должны ли инвесторы при оценке проектов закладывать в риск возможность пересмотра собственных ожиданий или на момент оценки ожидания принимаются неизменными и оценивается только возможное отклонение денежных потоков от ожидаемых значений? Существуют ли иные, более точные способы определения риска пересмотра ожиданий инвесторов, чем CAPM-модель и средняя историческая доходность? На эти вопросы еще предстоит ответить, и представленные выше выкладки могут быть полезными в формировании новой теории дисконтирования рисковых денежных потоков.
Литература
1. Bar-Yosef Sasson and Roger Mesnick. On Some Definitional Problems with the Method of Certainty Equivalents // Journal of Finance. – 1977. – № 32, Dec.
2. Bierman Harold Jr., Warren H. Hausman. The Resolution of Investment Uncertainty Through Time // Management Science. – 1972. – Vol. 18, № 12.
3. Ehrhardt Michael C., Phillip R. Daves. Capital Budgeting: The Valuation of Unusual, Irregular, or Extraordinary Cash Flows. – Working Paper, Social Science Research Network, 1999.
4. Fama Eugene F. and French, Kenneth R. The Capital Asset Pricing Model: Theory and Evidence // CRSP Working Paper. – 2003. – № 550 ; Tuck Business School Working Paper. – № 03-26. Режим доступа: ssrn.com/abstract=440920.
5. Fama Eugene. Risk Adjusted Discount Rates and Capital Budgeting Under Uncertainty // Journal of Financial Economics. – 1977. – June.
6. Hertz David B. Risk Analysis in Capital Investment // Harvard Business Review. – 1964. – January-February.
7. Hillier Frederick S. The Derivation of Probabilistic Information for the Evaluation of Risky Investment // Management Science. – 1963. – April.
8. Kudla Ronald J. Some pitfalls in using certainty equivalents: A note // Journal of Business Finance and Accounting. – 1980. – Vol. 7, № 2.
9. Long John B. Black’s Discounting Rule // Simon School of Business, Working Paper. – 2000. – May.
10. McClure, Kenneth G., Girma Paul Berhanu. Modified Net Present Value (MNPV): A New Technique for Capital Budgeting // Zagreb International Review of Economics and Business. – 2004. – December.
11. Percival John, Randolph Westerfield. Uncertainty Resolution and Multi-Period Investment Decisions // Decision Sciences. – 1976. – Vol. 7, Issue 2.
12. Robichek A.A., Myers S.C. Conceptual Problems in the Use of Risk-Adjusted Discount Rates // Journal of Finance. – 1966. – Vol. 21, Issue 4.
13. Robichek A.A., Myers S.C. Valuation of the Firm: Effects of Uncertainty in a Market Context // Journal of Finance. – 1966. – May.
14. Robichek A.A., Myers S.C. Optimal Financing Decisions. – N. J. : PrenticeHall, Inc., Englewood Cliffs, 1965.
15. Van Horne James C. Capital-Budgeting Decisions Involving Combinations of Risky Investments // Management Science. – 1966. – October.