Запись в трудовой книжке обязательна???

Вообще, по закону, работодатель делает запись о приеме на работу в течение недели с момента приема, а у вас уже месяц прошел.

а вы сделали запись в журнале учета движения трудовых книжек?
по сути  где 2002 году (если мне не изменяет память), были коментарии о том, что запись в трудовую книжку по желанию работника имеют право не вносить. Главное чтоб был трудовой договор.
Проблемы то будут у работника, стаж для больничного листа и для пенсиии все равно будут считать по трудовой книжке, а когда он доживет до пенсии законы еще столко раз поменяться могут.
Это конечно не совсем законно, но человечно. Главное, чтоб он на вашем экземляре трудового договора расписался, что свой экземпляр ТД получил.