Много коротких записей в трудовой. Что делать?

Ксандр, для Вашего шестимесячного поиска работы могут быть и другие причины, не те, о которых Вы думаете, например, недостаточно опыта, нет образования, не тот стиль поведения на собеседовании и т.д.
Хотя да, бытует мнение, что если человек несколько раз в год меняет работу по собственному желанию, то это не есть хорошо. Но всегда, свою частую смену работы можно объяснить (организация развалилась, перестали платить зарплату, т.е. реальную причину), для многих кадровых специалистов этого будет достаточно.
Может быть Вам стоит еще раз просмотреть свое резюме? Часто бывает, что соискатели данный документ оформляют как попало, поэтому оно отправляется в корзину.

"И как, в этом случае объяснить отсутствие старой трудовой книжки?"
Если Вы выкинете трудовую книжку, как Вы докажете свой опыт работы? Или в ней небольшой срок?

Почему бы и нет ?