Опубликовано в журнале "Управленческий учет" №5 год - 2011
Яцко В.А.,
к. т. н., доцент кафедры экономики предприятий
Новосибирского государственного
технического университета,
jatsko@ngs.ru
Предлагается новый подход к анализу влияния различных факторов на результирующий показатель, основанный на использовании нечетких переменных. Показано, что известные методы факторного анализа не позволяют в должной мере учесть мультивариантность оценок влияния различных факторов. Приведены аналитические результаты исследования нечетких переменных, описывающих влияние факторов. Рассмотрен ряд примеров, демонстрирующих преимущества данного подхода, особенно в случае многофакторных моделей.
Ключевые слова: факторный анализ, нечеткая переменная.
Детерминированный факторный анализ является одним из наиболее популярных приемов экономического анализа. Использование этого подхода позволяет разложить изменение результирующего показателя, зависящего от нескольких факторов, на отдельные составляющие, обусловленные изменением только одного фактора.
Классическая схема детерминированного факторного анализа в случае мультипликативной модели предполагает, что результирующий показатель получается как произведение значений отдельных факторов:
где n – число факторных показателей.
Тогда изменение значения результирующего показателя Y можно представить в следующем виде:
где Y0, Y1 – значение результирующего показателя в базисный и сравниваемый периоды соответственно;
?Y(?Xi) – величина прироста результирующего показателя вследствие изменения фактора Xi.
Для решения задачи вычисления частных приростов было предложено множество методов. Наиболее известным и часто применяемым является метод цепной подстановки, когда
где Xi, j – значение i-го фактора в j-м периоде (j = 0 для базисного и j = 1 для сравниваемого периодов).
Очевидно, что результат подобного разложения зависит от выбранной последовательности факторов. Можно отметить, что всего возможно n! Вариантов разложения. Для получения однозначного результата разложения были предложены различные правила, определяющие «оптимальную» последовательность факторов: например, сначала должны идти количественные факторы (объем реализации в натуральном выражении, число работающих, объем выпуска и т. п.), а затем – качественные (цена, зарплата, себестоимость и т. п.). Очевидно, что такие «правила» весьма субъективны, поэтому предлагались другие варианты разложения, позволяющие, по мнению их авторов, получить обоснованное и однозначное решение указанной задачи. В качестве наиболее известных решений можно указать на следующие методы: метод простого прибавления неразложимого остатка, метод взвешенных конечных разностей, логарифмический метод, метод дробления приращений факторов, интегральный метод [1]. Несмотря на достаточно широкий спектр предлагаемых решений, наиболее часто используется метод цепных подстановок из-за его кажущейся простоты, что во многих случаях может приводить к существенным искажениям при оценке значимости влияния факторов. В качестве общего недостатка всех вышеуказанных методов разложения можно отметить, что в их основе лежит попытка найти «однозначное» и «оптимальное» разложение. Например, в работе [1, с. 133] утверждается, что «интегральный метод факторного анализа устранил неоднозначность оценки влияния факторов и позволил получить наиболее точный результат». При этом тут же отмечается, что «результаты расчетов по интегральному методу существенно отличаются от того, что дает метод цепных подстановок или модификации последнего». Таким образом, видно, что в зависимости от выбора того или иного метода детерминированного факторного анализа аналитик получает совершенно различные оценки вклада факторов в изменение обобщающего показателя. Кроме того, в этом случае результаты расчетов во многом зависят от порядка расположения показателей в расчетной формуле (1).
В данной работе предлагается отказаться от попыток найти такое «однозначное» разложение, а рассмотреть все возможные варианты разложений, таким образом, определив минимальную и максимальную границы изменения элементов разложения (2), а также задав некоторую меру для различных вариантов разложения путем введения нечеткой переменной с соответствующей функцией принадлежности.
Чтобы определить границы изменения ?Y(?Xi), рассмотрим все возможные варианты цепных подстановок для i-го фактора:
где jk может принимать значения 0 или 1.
Очевидно, что всего возможно 2n-1 вариантов представления (4). Обозначим минимальное значение ?Y(?Xi) как yi,0, а максимальное значение как yi,1. Для удобства дальнейшего изложения перепишем разложение (2) в следующем виде:
где yi = ?Y(?Xi).
С учетом введенных обозначений все возможные варианты разложения (2) или (5) можно представить в виде следующей системы ограничений:
Такая система ограничений определяет некоторый симплекс в n-м пространстве. Предположим, что мы хотим исследовать вклад k-го фактора в разложение (5). Для этого введем дополнительное ограничение yk = x. Тогда (6) примет вид
Если рассматривать x как некоторый параметр, то различным значениям параметра x будут соответствовать различные симплексы. На рис. 1 приведен примерный вид нормированного графика зависимости объема симплекса от параметра x при различных n (нормирование в данном случае обеспечивает то, что максимальное значение графика не превышает 1).
Было получено следующее выражение для указанной зависимости:
где 1(x) – единичная функция Хевисайда;
Таким образом, можно рассматривать выражение (8) как функцию принадлежности нечеткой переменной, описывающей возможные значения прироста результирующего показателя Y вследствие изменения фактора Xk. Приведенное выражение для функции принадлежности описывает некоторую кусочно-заданную и кусочно-непрерывную функции.
Представление прироста результирующего показателя в виде нечеткой переменной позволяет наглядно представить все возможные значения этого прироста. При этом для каждого значения прироста ?Y(?Xi) мы указываем некоторую нечеткую меру, характеризующую возможность того, что прирост примет именно это значение. Можно отметить, что при использовании метода взвешенных конечных разностей [1] также рассматриваются все возможные перестановки факторов в формуле (1). При использовании этого метода для каждого варианта перестановки факторов рассчитываются все приросты методом цепных подстановок, а величина влияния каждого фактора определяется усреднением соответствующих приростов, что позволяет свести множество вариантов оценки прироста к единой оценке. К сожалению, на наш взгляд, дальнейшее использование в экономическом анализе такого рода однозначных оценок приводит к тому, что теряется большая часть полученной информации о возможных изменениях результирующего показателя под воздействием различных факторов. В условиях высокой неопределенности и непредсказуемости современной экономической ситуации во многих случаях необходимо вместо «простых» и однозначных оценок использовать те показатели, которые позволяют отразить и описать мультивариантность экономического развития, его вариативность, что позволяет, в свою очередь, более глубоко проанализировать проблему, рассмотреть различные варианты ее решения.
Так как выражение (8) является довольно громоздким и неудобным для непосредственного вычисления, то вместо него для вычислений более удобно оказалось использовать выражение вида
где коэффициенты ai рассчитаны согласно формуле 
а коэффициенты * i y соответствуют выражению 
При анализе полученной нечеткой переменной, описываемой своей функцией принадлежности ? ( ) k ? x , зачастую полезным оказывается получение некоторой усредненной оценки, полученной в результате дефуззификации нечеткой переменной в обычное (не нечеткое) значение. Наиболее часто для этого используется метод центра тяжести (COG, Centre of Gravity) [2]. Для функции принадлежности (8)–(9) было получено следующее выражение центра тяжести нечеткой переменной:
Следует отметить, что сумма «центров тяжести» для всех факторов равна приросту результирующего показателя ?Y.
Для выполнения факторного анализа с использованием нечетких переменных была разработана программа на языке Visual Basic for Applications (VBA) для Microsoft Excel. Использование языка программирования VBA позволило проводить факторный анализ с использованием специально разработанных оконных форм.
Исходные данные сохраняются в виде сценариев на скрытых листах MS Excel, что предотвращает их некорректное использование и искажение. Результаты (таблица и графики функций принадлежности) выводятся на отдельных вновь создаваемых листах MS Excel.
Рассмотрим результаты использования предложенного подхода на примере данных, приведенных в статье Т.И. Наседкиной [3]. Приведем фрагмент таблицы из указанной работы (табл. 1).
Ниже, при рассмотрении примеров, для сравнения приводятся результаты из указанной статьи.
Пример 1. Анализ изменения объема произведенной товарной продукции (ТП) в результате изменения фондоотдачи (ФО) и величины основных фондов (ОФ) (табл. 2). Объем товарной продукции возрос на 16 798 тыс. руб. При анализе использовалось соотношение ТП = ФО . ОФ.
На рис. 2 приведены графики соответствующих функций принадлежности.
Можно отметить, что в случае двухфакторной модели усредненная оценка yCOG совпадает с результатами метода простого прибавления неразложимого остатка и метода взвешенных конечных разностей [1]1.
1 К сожалению, в [3] не указано, какой метод факторного анализа использовался. По-видимому, в примере 1 использовался метод простого прибавления неразложимого остатка, а в примерах 2 и 3 – метод цепных подстановок.
Пример 2. Анализ изменения товарной продукции (ТП) в результате изменения численности персонала (ЧП), фондоотдачи (ФО) и фондовооруженности (ФВ).
Было использовано соотношение ТП = ЧП . ФО . ФВ.
Полученные результаты приведены в табл. 3 и на рис. 3. Отметим, что в данном случае функции принадлежности представляют собой трапеции.
Пример 3. Анализ изменения прибыли (ТП) в результате изменения численности персонала (ЧП), фондоотдачи (ФО) и фондовооруженности (ФВ) и рентабельности по товарной продукции (R).
Использовалось соотношение П = ЧП . ФО . ФВ . R.
Результаты приведены в табл. 4 и на рис. 4.
Приведенные примеры наглядно демонстрируют, что использование традиционных методов детерминированного факторного анализа приводит к существенным погрешностям в оценке значимости того или иного фактора. Например, в [3] в примере 3 при анализе фактора изменения фондоотдачи было использовано значение 2123,9, тогда как из табл. 4 видно, возможный диапазон значений [1046,7; 2123,9]. Таким образом, погрешность оценки прироста из-за изменения отдельного фактора может достигать в отдельных случаях 50% и более. Такой большой разброс возможных значений прироста характерен для многофакторных моделей (3 фактора и более), однако в случае значительных изменений факторов даже при использовании двухфакторной модели возможные значения приростов могут существенно различаться.
Таким образом, предлагаемый подход с использованием теории нечетких множеств позволяет существенно расширить аналитические возможности факторного анализа за счет того, что появляется возможность мультивариантного анализа воздействия различных факторов на результирующий показатель, что, в свою очередь, позволяет повысить обоснованность принимаемых управленческих решений.
Литература
1. Баканов М.И., Шеремет А.Д. Теория экономического анализа. – М. : Финансы и статистика, 2001.
2. Леоненков А.В. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTECH. – СПб. : БХВ-Петербург, 2003.
3. Наседкина Т.И. Диагностика эффективности функционирования хозяйствующего субъекта в целях обеспечения его антикризисной устойчивости // Управленческий учет. – 2009. – № 12.
